Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de segunda ordem, utilizando o método dos coeficientes a determinar:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Informações relevantes dadas:
- É uma equação linear de segunda ordem não homogênea.
- O termo não homogêneo (forçamento) é
. - Quer-se a solução geral, ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Começamos resolvendo a equação homogênea associada (isto é, a mesma equação sem o termo à direita):
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substitui-se
e obtém-se o polinômio característico
Agora resolvemos essa equação quadrática. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
Portanto os dois raízes são
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias reais.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa
Explicação do método que vamos usar (coeficientes a determinar): quando o termo à direita é combinação linear de funções seno e cosseno com frequência
, uma boa tentativa para
é uma combinação linear dessas mesmas funções:
onde
e
são constantes a determinar. Antes de aceitar essa tentativa, verificamos se há ressonância: isto é, se
seriam raízes da equação característica. As raízes que encontramos foram
e
, que não são puramente imaginais
; portanto não há ressonância e a forma tentativa acima é adequada.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
. Lembrete rápido (derivadas):
-
, -
.
Aplicando isso,
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação diferencial à esquerda e agrupamos os termos em
e
:
Agora agrupando coeficientes de
e
:
Logo
Passo 6
Para que
Resolvendo esse sistema: da segunda equação temos (2A=10B], ou seja
Substituindo na primeira:
Portanto
]
Substituindo na primeira:
Portanto
Passo 7
Com esses valores, a solução particular é
Passo 8
A solução geral da equação diferencial é a soma da homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias reais.