Determine a solução geral das seguintes equações diferenciais lineares de segunda ordem, utilizando o método dos coeficientes a determinar:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=\cos (2 t)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-y'-6y=\cos(2t).
Informações relevantes dadas:
  • É uma equação linear de segunda ordem não homogênea.
  • O termo não homogêneo (forçamento) é \cos(2t).
  • Quer-se a solução geral, ou seja, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Começamos resolvendo a equação homogênea associada (isto é, a mesma equação sem o termo à direita):
y''-y'-6y=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes usamos a equação característica. Substitui-se y=e^{rt} e obtém-se o polinômio característico
r^{2}-r-6=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Aplicando a fórmula de Bhaskara:
r=\frac{1\pm\sqrt{(-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-6)}}{2\cdot1} =\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2} =\frac{1\pm5}{2}.
Portanto os dois raízes são
r_{1}=3,\qquad r_{2}=-2.
Como são duas raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}e^{-2t},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias reais.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p}(t) da equação completa
y''-y'-6y=\cos(2t).
Explicação do método que vamos usar (coeficientes a determinar): quando o termo à direita é combinação linear de funções seno e cosseno com frequência \omega, uma boa tentativa para y_{p} é uma combinação linear dessas mesmas funções:
y_{p}(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t),
onde A e B são constantes a determinar. Antes de aceitar essa tentativa, verificamos se há ressonância: isto é, se \pm 2\mathrm{i} seriam raízes da equação característica. As raízes que encontramos foram 3 e -2, que não são puramente imaginais \pm 2\mathrm{i}; portanto não há ressonância e a forma tentativa acima é adequada.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p}. Lembrete rápido (derivadas):
  • \dfrac{d}{dt}\cos(2t)=-2\sin(2t),
  • \dfrac{d}{dt}\sin(2t)=2\cos(2t).
Aplicando isso,
y_{p}'(t)=-2A\sin(2t)+2B\cos(2t),
y_{p}''(t)=-4A\cos(2t)-4B\sin(2t).

Passo 5

Substituímos y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' na equação diferencial à esquerda e agrupamos os termos em \cos(2t) e \sin(2t):
y_{p}''-y_{p}'-6y_{p} = \bigl(-4A\cos(2t)-4B\sin(2t)\bigr) -\bigl(-2A\sin(2t)+2B\cos(2t)\bigr) -6\bigl(A\cos(2t)+B\sin(2t)\bigr).
Agora agrupando coeficientes de \cos(2t) e \sin(2t):
\begin{aligned} \text{coeficiente de }\cos(2t):&\\\ -4A\;-\;2B\;-\;6A = -10A-2B,\\[4pt] \text{coeficiente de }\sin(2t):&\\\ -4B\;+\;2A\;-\;6B = 2A-10B. \end{aligned}
Logo
y_{p}''-y_{p}'-6y_{p}=(-10A-2B)\cos(2t)+(2A-10B)\sin(2t).]

Passo 6

Para que y_{p}\) seja solução particular precisamos que a expressão acima seja igual ao lado direito \(\cos(2t)\). Isso leva a igualar coeficientes das funções independentes \(\cos(2t)\) e \(\sin(2t)\): \[\begin{cases} -10A-2B=1,\\[4pt] 2A-10B=0. \end{cases}
Resolvendo esse sistema: da segunda equação temos (2A=10B], ou seja
A=5B.
Substituindo na primeira:
-10(5B)-2B=1\quad\Rightarrow\quad -50B-2B=1\quad\Rightarrow\quad -52B=1.
Portanto
B=-\dfrac{1}{52},\qquad A=5B=-\dfrac{5}{52}.]

Passo 7

Com esses valores, a solução particular é
y_{p}(t)=A\cos(2t)+B\sin(2t) =-\dfrac{5}{52}\cos(2t)-\dfrac{1}{52}\sin(2t) =-\dfrac{1}{52}\bigl(5\cos(2t)+\sin(2t)\bigr).

Passo 8

A solução geral da equação diferencial é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}e^{-2t}-\dfrac{1}{52}\bigl(5\cos(2t)+\sin(2t)\bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias reais.

Resposta

y(t)=C_{1}e^{3t}+C_{2}e^{-2t}-\dfrac{1}{52}\bigl(5\cos(2t)+\sin(2t)\bigr)

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