Determine a solução geral das siguentes edo’s:
\{\begin{array}{l}y^{\prime}=(y-2 x)^{2}-7 \\\ y(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y' = (y - 2x)^2 - 7,\quad y(0)=0.
O conteúdo aqui é a técnica de substituição para reduzir a ODE a uma equação separável. Vamos usar a mudança de variável
u = y - 2x,
para simplificar a expressão de y'.

Passo 2

Definindo u = y - 2x, temos
u' = y' - 2.
Como y' = (y - 2x)^2 - 7, substituindo y - 2x = u obtemos
u' = u^2 - 7 - 2 = u^2 - 9.

Passo 3

A equação para u ficou
u' = u^2 - 9 = (u-3)(u+3),
que é separável. Escrevemos
\frac{du}{u^2 - 9} = dx.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Pela fração parcial
\frac{1}{u^2-9} = \frac{1}{6}\Bigl(\frac{1}{u-3}-\frac{1}{u+3}\Bigr),
temos
\int \frac{du}{u^2-9} = \frac{1}{6}\int\Bigl(\frac{1}{u-3}-\frac{1}{u+3}\Bigr)du = \frac{1}{6}\ln\Bigl|\frac{u-3}{u+3}\Bigr| + C.
Portanto
\ln\Bigl|\frac{u-3}{u+3}\Bigr| = 6x + C_1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{u-3}{u+3} = K e^{6x},
onde K = \pm e^{C_1}.

Passo 5

Voltando a y, lembrando que u = y - 2x, temos
\frac{y - 2x - 3}{y - 2x + 3} = K e^{6x}.
Isolando y, escrevemos
y - 2x - 3 = K e^{6x}(y - 2x + 3) \;\Longrightarrow\; y(1 - K e^{6x}) = 2x(1 - K e^{6x}) + 3(1 + K e^{6x}).
Se 1 - K e^{6x}\neq0, então
y = 2x + 3\,\frac{1 + K e^{6x}}{1 - K e^{6x}},
que é a solução geral.

Passo 6

Agora aplicamos y(0)=0. Em x=0 temos
0 = 2\cdot 0 + 3\,\frac{1 + K}{1 - K} \;\Longrightarrow\; \frac{1 + K}{1 - K} = 0 \;\Longrightarrow\; K = -1.
Substituindo em y, obtemos a solução particular
y(x) = 2x + 3\,\frac{1 - e^{6x}}{1 + e^{6x}}.

Resposta

\boxed{y(x) = 2x + 3\,\frac{1 - e^{6x}}{1 + e^{6x}}.}

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