Determine a solução geral das siguentes edo’s lineares:
x+3 y-x y^{\prime}=0, x>0

Passo 1

O enunciado dá a equação
x + 3y - x\,y' = 0,\quad x>0,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, vamos reorganizar na forma padrão
y' + p(x)\,y = q(x)
e usar o método do fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo a equação, temos
x\,y' = 3y + x.
Dividindo ambos os lados por x (que é não-nulo pois x>0), obtemos a forma padrão
y' - \frac{3}{x}\,y = 1.

Passo 3

Aqui p(x) = -\tfrac{3}{x} e q(x)=1. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int -\frac{3}{x}\,dx\Bigr) = \exp(-3\ln x) = x^{-3}.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por \mu(x), fica
x^{-3}y' - 3x^{-4}y = x^{-3}.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \mu(x)\,y, pois
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-3}y\bigr) = x^{-3}y' + (x^{-3})'\,y = x^{-3}y' -3x^{-4}y.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-3}y\bigr) = x^{-3} \quad\Longrightarrow\quad x^{-3}y = \int x^{-3}\,dx = -\frac{1}{2}\,x^{-2} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y, multiplicamos por x^3:
y = x^3\Bigl(-\tfrac{1}{2}x^{-2} + C\Bigr) = -\tfrac{x}{2} + C\,x^3.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(x) = C\,x^3 - \frac{x}{2},\quad C\in\mathbb{R}.

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