Determine a solução geral das siguentes edo’s lineares:
x y^{\prime}-2 y=x^{3} \cos (4 x), x>0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear de primeira ordem
x\,y' - 2\,y = x^{3}\cos(4x),\quad x>0.
O conteúdo aqui é resolução de equações lineares de 1ª ordem usando fator integrante. Para resolver, vamos:
  1. Colocar a equação na forma padrão y' + P(x)y = Q(x).
  2. Calcular o fator integrante \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
  3. Multiplicar tudo por \mu(x) para obter uma derivada exata.
  4. Integrar e isolar y.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x (válido pois x>0), obtemos a forma padrão:
y' - \frac{2}{x}\,y = x^{2}\cos(4x).

Passo 3

Aqui P(x)=-\tfrac{2}{x}. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int -\tfrac{2}{x}\,dx\Bigr) =\exp(-2\ln x) =x^{-2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=x^{-2}:
x^{-2}y' - 2x^{-3}y = x^{-2}\cdot x^{2}\cos(4x) \;\;\Longrightarrow\;\; (x^{-2}y)' = \cos(4x).
Note que (x^{-2}y)' = x^{-2}y' +(-2)x^{-3}y.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x^{-2}y = \int \cos(4x)\,dx = \tfrac{1}{4}\sin(4x) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y, multiplicamos por x^2:
y(x) = x^{2}\Bigl(\tfrac{1}{4}\sin(4x) + C\Bigr) = \frac{x^{2}}{4}\,\sin(4x) + C\,x^{2}.

Resposta

A solução geral é
y(x) = C\,x^{2} + \frac{x^{2}}{4}\,\sin(4x),
com C\in\mathbb{R}.

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