Determine a solução geral das siguentes edo’s de Bernoulli:
x y^{\prime}+6 y=3 x y^{4 / 3}, x>0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Bernoulli
x\,y' + 6\,y = 3x\,y^{4/3},\quad x>0.
Para colocar no formato padrão
y' + p(x)\,y = q(x)\,y^n
dividimos por x, obtendo
y' + \frac{6}{x}\,y = 3\,y^{4/3}.
Aqui p(x)=6/x, q(x)=3 e n=4/3. Vamos usar a substituição
v = y^{1-n} = y^{-1/3}\,.

Passo 2

Calculamos v' em função de y e y'. Como
v = y^{-1/3}
temos
v' = -\tfrac{1}{3}\,y^{-4/3}\,y'.
Dessa relação isolamos
y' = -3\,y^{4/3}\,v'.

Passo 3

Substituímos y' na equação dividida por x:
-3\,y^{4/3}\,v' + \frac{6}{x}\,y = 3\,y^{4/3}.
Dividindo tudo por y^{4/3} (que é não nulo quando y\neq0), e lembrando que y\cdot y^{-4/3}=y^{-1/3}=v, vem
-3\,v' + \frac{6}{x}\,v = 3.
Reorganizando,
v' - \frac{2}{x}\,v = -1,
que é uma equação linear em v.

Passo 4

Para resolver
v' - \frac{2}{x}\,v = -1
calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int -\tfrac{2}{x}\,dx\Bigr) = x^{-2}.
Multiplicando a equação por x^{-2} obtemos
\bigl(x^{-2}v\bigr)' = -x^{-2}.
Integrando em x:
x^{-2}v = \int -x^{-2}\,dx = x^{-1} + C
ou seja
v = x^2\bigl(x^{-1} + C\bigr) = x + C\,x^2.

Passo 5

Voltando à substituição v = y^{-1/3}, temos
y^{-1/3} = x + C\,x^2 = x\,(1 + C\,x).
Elevando ambos os lados ao cubo (invertendo o expoente -1/3), a solução geral é
y(x) = \frac{1}{\bigl[x\,(1 + C\,x)\bigr]^3} = \frac{1}{x^3\,(1 + C\,x)^3}\,,
além da solução trivial y\equiv0.

Resposta

A solução geral é
y(x) = \frac{1}{x^3\,(1 + C\,x)^3},\quad C\in\mathbb{R},
mais a solução trivial y\equiv0.

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