Determine a solução geral das siguentes edo’s lineares:
(a) x+3 y-x y^{\prime}=0, x>0
(b) y^{\prime}-2 y=x^{2} e^{2 x}
(c) x y^{\prime}-2 y=x^{3} \cos (4 x), x>0
(d) y^{\prime}+2 x y=2 x e^{-x^{2}}
(e) x y^{\prime}+y=(1+x) e^{x}, x>0
(f) \left(1+x^{2}\right) y^{\prime}+x y+x^{3}+x=0

Passo 1

O enunciado pede as soluções gerais de seis equações diferenciais lineares de primeira ordem. Vamos usar o conteúdo de “equação diferencial linear de 1ª ordem” e o método do fator integrante, que resolve qualquer equação na forma
y' + P(x)\,y = Q(x).

Passo 2

O método do fator integrante consiste em:
Primeiro, escrever a EDO em forma padrão
y' + P(x)\,y = Q(x).
Depois, definir o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr).
Multiplicando toda a equação por \mu(x) obtemos
\bigl(\mu(x)\,y\bigr)' = \mu(x)\,Q(x).
Integramos em ambos os lados:
\mu(x)\,y = \int \mu(x)\,Q(x)\,dx + C,
e finalmente isolamos y.

Passo 3

(a) A equação é
x + 3y - x\,y' = 0,\quad x>0.
Reescrevendo em forma padrão:
-x\,y' + 3y + x = 0 \quad\Longrightarrow\quad y' - \frac{3}{x}\,y = 1.
Aqui P(x) = -\tfrac{3}{x}, Q(x)=1. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int -\tfrac{3}{x}\,dx\Bigr) = \exp(-3\ln x) = x^{-3}.
Multiplicando por \mu(x) e integrando:
\bigl(x^{-3}y\bigr)' = x^{-3}\quad\Longrightarrow\quad x^{-3}y = \int x^{-3}\,dx + C = -\tfrac{1}{2}x^{-2} + C.
Isolando y:
y = x^{3}\Bigl(-\tfrac{1}{2}x^{-2} + C\Bigr) = -\tfrac{1}{2}x + C\,x^3.

Passo 4

(b) A equação é
y' - 2y = x^{2}e^{2x}.
Aqui P(x)=-2, Q(x)=x^{2}e^{2x}. O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int -2\,dx} = e^{-2x}.
Multiplicando e integrando:
\bigl(e^{-2x}y\bigr)' = x^{2}, \quad e^{-2x}y = \int x^{2}\,dx + C = \tfrac{x^{3}}{3} + C.
Logo
y = e^{2x}\Bigl(\tfrac{x^{3}}{3} + C\Bigr).

Passo 5

(c) A equação é
x\,y' - 2y = x^{3}\cos(4x),\quad x>0.
Dividindo por x:
y' - \frac{2}{x}y = x^{2}\cos(4x).
Aqui P(x) = -\tfrac{2}{x}, Q(x)=x^{2}\cos(4x). O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int -\tfrac{2}{x}\,dx\Bigr) = x^{-2}.
Multiplicando e integrando:
\bigl(x^{-2}y\bigr)' = \cos(4x), \quad x^{-2}y = \int \cos(4x)\,dx + C = \tfrac{\sin(4x)}{4} + C.
Assim
y = x^{2}\Bigl(\tfrac{\sin(4x)}{4} + C\Bigr).

Passo 6

(d) A equação é
y' + 2x\,y = 2x\,e^{-x^{2}}.
Aqui P(x)=2x, Q(x)=2x\,e^{-x^{2}}. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int 2x\,dx\Bigr) = e^{x^{2}}.
Multiplicando e integrando:
\bigl(e^{x^{2}}y\bigr)' = 2x, \quad e^{x^{2}}y = \int 2x\,dx + C = x^{2} + C.
Logo
y = (x^{2} + C)\,e^{-x^{2}}.

Passo 7

(e) A equação é
x\,y' + y = (1+x)e^{x},\quad x>0.
Dividindo por x:
y' + \frac{1}{x}y = \frac{1+x}{x}\,e^{x}.
Aqui P(x)=\tfrac{1}{x}, Q(x)=\tfrac{1+x}{x}e^{x}. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \tfrac{1}{x}\,dx\Bigr) = x.
Multiplicando e integrando:
\bigl(x\,y\bigr)' = (1+x)e^{x}, \quad x\,y = \int (1+x)e^{x}\,dx + C = x\,e^{x} + C.
Portanto
y = e^{x} + \frac{C}{x}.

Passo 8

(f) A equação é
(1+x^{2})\,y' + x\,y + x^{3} + x = 0.
Reescrevendo em forma padrão:
y' + \frac{x}{1+x^{2}}\,y = -\,\frac{x^{3}+x}{1+x^{2}} = -x.
Aqui P(x)=\tfrac{x}{1+x^{2}}, Q(x)=-x. O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int \frac{x}{1+x^{2}}\,dx\Bigr) = (1+x^{2})^{1/2}.
Multiplicando e integrando:
\bigl((1+x^{2})^{\tfrac12}y\bigr)' = -\,x\,(1+x^{2})^{\tfrac12},
(1+x^{2})^{\tfrac12}y = \int -\,x\,(1+x^{2})^{\tfrac12}\,dx + C = -\tfrac{1}{3}(1+x^{2})^{\tfrac32} + C.
Isolando y:
y = -\tfrac{1}{3}(1+x^{2}) + C\,(1+x^{2})^{-\tfrac12}.

Resposta

(a) y = -\tfrac12\,x + C\,x^{3}.
(b) y = e^{2x}\bigl(\tfrac{x^{3}}{3} + C\bigr).
(c) y = x^{2}\bigl(\tfrac{\sin(4x)}{4} + C\bigr).
(d) y = (x^{2} + C)\,e^{-x^{2}}.
(e) y = e^{x} + \tfrac{C}{x}.
(f) y = -\tfrac{1+x^{2}}{3} + C\,(1+x^{2})^{-\tfrac12}.

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