Determine a solução geral das siguentes edo’s:
(a) y^{\prime}-e^{x+y}=-1
(b) y^{\prime}=\sqrt{x+y}
(c) y^{\prime}=(x+y+3)^{2}
(d) y^{\prime}=\operatorname{sen}(x+y)
(e) y^{\prime}=1+e^{y-x+5}

Passo 1

Temos cinco EDOs da forma
y' = f(x+y)\quad\text{ou}\quad y'=f(y-x),
ou ainda da forma y'-g(x,y)=0. Em todos os casos vamos usar a substituição \,u=x+y ou \,u=y-x para transformar a equação em uma equação separável \displaystyle\frac{du}{dx}=G(u), depois integrar ambos os lados.

Passo 2

(a) y'-e^{x+y}=-1
Defina u=x+y. Então
\frac{du}{dx}=1+y',
logo
y'=e^u-1 \implies \frac{du}{dx}-1=e^u-1 \implies \frac{du}{dx}=e^u.
É separável:
e^{-u}du=dx.
Integrando em bloco:
-\,e^{-u}=x+C.
Logo
e^{-u}=-(x+C)=C_1-x,
u=-\ln(C_1-x),
e como u=x+y obtemos
y=-x-\ln\bigl(C_1-x\bigr).

Passo 3

(b) y'=\sqrt{x+y}
Defina u=x+y. Então
\frac{du}{dx}=1+y'=1+\sqrt{u},
\frac{du}{1+\sqrt{u}}=dx.
Fazendo t=\sqrt{u}, du=2t\,dt, vem
\frac{2t}{1+t}dt=dx \quad\Longrightarrow\quad 2\int\!\frac{t}{1+t}dt=\int dx.
Como \displaystyle\frac{t}{1+t}=1-\frac1{1+t},
2\bigl(t-\ln|1+t|\bigr)=x+C \quad\Longrightarrow\quad 2\sqrt{u}-2\ln\bigl(1+\sqrt{u}\bigr)=x+C.
Voltando u=x+y:
2\sqrt{x+y}-2\ln\bigl(1+\sqrt{x+y}\bigr)=x+C.

Passo 4

(c) y'=(x+y+3)^2
Defina u=x+y+3. Então
\frac{du}{dx}=1+y'=1+u^2,
\frac{du}{1+u^2}=dx \quad\Longrightarrow\quad \arctan(u)=x+C.
Logo
u=\tan(x+C) \quad\Longrightarrow\quad x+y+3=\tan(x+C) \quad\Longrightarrow\quad y=\tan(x+C)-x-3.

Passo 5

(d) y'=\sin(x+y)
Defina u=x+y. Então
\frac{du}{dx}=1+y'=1+\sin u \quad\Longrightarrow\quad \frac{du}{1+\sin u}=dx.
Usando \displaystyle\frac1{1+\sin u}=\frac{1-\sin u}{\cos^2u},
\int\frac{du}{1+\sin u} =\int\frac{1-\sin u}{\cos^2u}du =\int\bigl(\operatorname{sec}^2u-\operatorname{sec} u\tan u\bigr)du =\tan u-\operatorname{sec} u +C.
Portanto
\tan(x+y)-\operatorname{sec}(x+y)=x+C.

Passo 6

(e) y'=1+e^{y-x+5}
Defina u=y-x. Então
\frac{du}{dx}=y'-1=e^{u+5},
e^{-u-5}du=dx \quad\Longrightarrow\quad \int e^{-u}du=e^5\int dx \quad\Longrightarrow\quad -\,e^{-u}=e^5x+C.
Logo
e^{-u}=C_1-e^5x \quad\Longrightarrow\quad u=-\ln(C_1-e^5x) \quad\Longrightarrow\quad y-x=-\ln(C_1-e^5x),
y=x-\ln\bigl(C_1-e^5x\bigr).

Resposta

(a) y=-x-\ln\bigl(C_1-x\bigr).
(b) 2\sqrt{x+y}-2\ln\bigl(1+\sqrt{x+y}\bigr)=x+C.
(c) y=\tan(x+C)-x-3.
(d) \tan(x+y)-\operatorname{sec}(x+y)=x+C.
(e) y=x-\ln\bigl(C_1-e^5x\bigr).

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