Determine a solução geral das siguentes edo’s de Bernoulli:
x y^{\prime}+y+x^{2} y^{2}=0, x>0

Passo 1

Resumindo, temos uma EDO de Bernoulli: x\,\frac{dy}{dx}+y+x^2y^2=0, com x>0. Para resolver, vamos reescrever na forma padrão
e usar a substituição apropriada.

Passo 2

Dividindo toda a equação por x, obtemos
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}\,y=-x\,y^2.

Passo 3

Reconhecemos a forma de Bernoulli com P(x)=\tfrac1x, Q(x)=-x e expoente n=2.
Fazemos a substituição
z = y^{\,1-n} = y^{-1},
cuja derivada é
\frac{dz}{dx} = -y^{-2}\,\frac{dy}{dx}.

Passo 4

Como \frac{dy}{dx}=-y^2\frac{dz}{dx}, substituímos na equação \frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=-x\,y^2 e depois dividimos por y^2, obtendo
-\frac{dz}{dx}+\frac{z}{x}=-x.
Multiplicando por -1 chega-se à EDO linear para z:
\frac{dz}{dx}-\frac{1}{x}\,z = x.

Passo 5

Para resolver \frac{dz}{dx}-\frac{1}{x}z=x
calculamos o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\Bigl(\int -\frac{1}{x}\,dx\Bigr)=x^{-1}.
Multiplicando a EDO por \mu e integrando, vem
\frac{d}{dx}\bigl(z\,x^{-1}\bigr)=1 \quad\Longrightarrow\quad z\,x^{-1}=x+C \quad\Longrightarrow\quad z = x^2 + C\,x.

Passo 6

Voltando à variável original, y = z^{-1}, obtemos
y = \frac{1}{x^2 + C\,x},
que é a solução geral da equação dada.

Resposta

A solução geral é
y(x) = \frac{1}{x^2 + C\,x},
onde C é constante arbitrária.

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