Determine a solução geral das siguentes edo’s de Bernoulli:
y\left(6 y^{2}-x-1\right)+2 x y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
y\bigl(6y^{2}-x-1\bigr)+2x\,y'=0
e pede a solução geral. Essa EDO pode ser escrita como uma Bernoulli do tipo
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}.
Para resolver, vamos colocar na forma padrão de Bernoulli e depois usar a substituição clássica.

Passo 2

Primeiro, isolamos y'. Dividindo tudo por 2x, obtemos
y' + \underbrace{\biggl(-\frac{x+1}{2x}\biggr)}_{P(x)}\,y = \underbrace{\bigl(-\tfrac{3}{x}\bigr)}_{Q(x)}\,y^{3}.
Logo é uma Bernoulli com n=3.

Passo 3

Na Bernoulli usamos a substituição
v = y^{1-n} = y^{-2}.
Derivando em relação a x,
v' = -2\,y^{-3}\,y' \quad\Longrightarrow\quad y' = -\tfrac12\,y^{3}\,v'.

Passo 4

Voltando à equação
y' - \frac{x+1}{2x}\,y = -\frac{3}{x}\,y^{3},
multiplicamos tudo por y^{-3} e substituímos y' y^{-3}=-v'/2. Isso dá
-\frac{1}{2}\,v' - \frac{x+1}{2x}\,v = -\frac{3}{x} \quad\Longrightarrow\quad v' + \frac{x+1}{x}\,v = \frac{6}{x}.
Agora temos uma EDO linear em v.

Passo 5

Para
v' + \underbrace{\bigl(1+\tfrac1x\bigr)}_{p(x)}v = \frac{6}{x},
o fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\!\int\!(1 + \tfrac1x)\,dx\Bigr) = e^{x}\,x.
Multiplicando tudo por \mu,
\bigl(xe^{x}v\bigr)' = \frac{6}{x}\,x\,e^{x} = 6e^{x}.
Integramos:
x e^{x}v = 6\int e^{x}\,dx = 6e^{x} + C \;\;\Longrightarrow\;\; v = \frac{6e^{x}+C}{x\,e^{x}} = \frac{6}{x} + \frac{C}{x\,e^{x}}.

Passo 6

Lembrando v=y^{-2}, temos
y^{-2} = \frac{6}{x} + \frac{C}{x\,e^{x}} \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = \frac{1}{\displaystyle \frac{6}{x} + \frac{C}{x\,e^{x}}} = \frac{x\,e^{x}}{6e^{x} + C}.
Assim, a solução geral é
y = \pm\sqrt{\frac{x\,e^{x}}{C + 6e^{x}}},
onde C é a constante de integração.

Resposta

y(x) = \pm\sqrt{\frac{x\,e^{x}}{C + 6e^{x}}},\quad C\in\mathbb{R}.

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