Determine a solução geral das siguentes edo’s lineares:
x y^{\prime}=x \operatorname{sen}(x)-y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
x\,y' = x\sin(x) - y.
Este é um caso de EDO linear de primeira ordem na incógnita y(x). Para resolver, vamos colocá-la no formato padrão
y' + P(x)\,y = Q(x)
e usar o fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x (supondo x\neq0), obtemos
y' + \frac{1}{x}\,y = \sin(x),
ou seja P(x)=\tfrac{1}{x} e Q(x)=\sin(x).

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int \frac{1}{x}\,dx\Bigr) = \exp(\ln|x|) = |x|.
Escolhendo x>0, podemos tomar \mu(x)=x.

Passo 4

Multiplicando a equação padrão por x, fica
x\,y' + y = x\sin(x),
e o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto:
(x\,y)' = x\sin(x).

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x\,y = \int x\sin(x)\,dx + C.
Para calcular \displaystyle\int x\sin(x)\,dx, use integração por partes com u=x, dv=\sin(x)\,dx:
\int x\sin(x)\,dx = -x\cos(x) + \int \cos(x)\,dx = -x\cos(x) + \sin(x).
Logo
x\,y = -x\cos(x) + \sin(x) + C.

Passo 6

Isolando y, obtemos
y(x) = -\cos(x) + \frac{\sin(x)}{x} + \frac{C}{x}.

Resposta

y(x) = -\cos(x) + \frac{\sin(x)}{x} + \frac{C}{x},
onde C é a constante de integração e x\neq0.

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