Determine a solução geral das siguentes edo’s de Bernoulli:
y^{\prime}=y\left(x y^{3}-1\right)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de Bernoulli
y' = y\bigl(x\,y^3 - 1\bigr).
O conteúdo é EDO de Bernoulli, que tem a forma
y' + P(x)\,y = Q(x)\,y^n.
Aqui identificamos P(x)=1, Q(x)=x e n=4. Para resolver, vamos transformar em uma EDO linear usando a mudança de variável
u = y^{\,1-n} = y^{-3}.

Passo 2

Reescrevemos a EDO original em forma padrão:
y' + y = x\,y^4.
Como n=4, definimos u = y^{-3}. Vamos relacionar u' a y'. Derivando,
u = y^{-3} \implies u' = -3\,y^{-4}\,y'.
Logo,
y' = -\tfrac{1}{3}\,y^4\,u'.

Passo 3

Substituímos y' na forma padrão y' + y = x\,y^4:
-\tfrac{1}{3}y^4\,u' + y = x\,y^4.
Dividindo tudo por y^4,
-\tfrac{1}{3}u' + y^{-3} = x.
Como y^{-3}=u, obtemos a EDO linear em u:
-\tfrac{1}{3}u' + u = x \quad\Longrightarrow\quad u' - 3\,u = -3\,x.

Passo 4

A EDO
u' - 3\,u = -3\,x
é linear de coeficientes não constantes. O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int(-3)\,dx} = e^{-3x}.
Multiplicando ambos os lados por \mu(x):
e^{-3x}u' - 3\,e^{-3x}u = -3x\,e^{-3x} \quad\Longrightarrow\quad \bigl(e^{-3x}u\bigr)' = -3x\,e^{-3x}.

Passo 5

Integramos:
e^{-3x}u = \int -3x\,e^{-3x}\,dx + C.
Para calcular \displaystyle\int -3x\,e^{-3x}dx, usamos integração por partes:
\int -3x\,e^{-3x}dx = x\,e^{-3x} + \tfrac{1}{3}e^{-3x} + \widetilde C.
Então
e^{-3x}u = x\,e^{-3x} + \tfrac{1}{3}e^{-3x} + C \quad\Longrightarrow\quad u = x + \tfrac{1}{3} + C\,e^{3x}.

Passo 6

Voltando à variável original, u = y^{-3}. Portanto
y^{-3} = x + \tfrac{1}{3} + C\,e^{3x},
onde C é a constante de integração. Isolando y,
y(x) = \bigl(x + \tfrac{1}{3} + C\,e^{3x}\bigr)^{-\tfrac{1}{3}}.

Resposta

A solução geral é
\boxed{y(x) = \bigl(x + \tfrac{1}{3} + C\,e^{3x}\bigr)^{-\tfrac{1}{3}},}
com C constante arbitrária.

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