Determine a solução geral das siguentes edo’s lineares:
x y^{\prime}=3 y+x^{4} \cos (x), x>0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO
x\,y' = 3\,y + x^{4}\cos(x), \qquad x>0.
O conteúdo é equação diferencial linear de primeira ordem. Vamos reescrever na forma padrão e usar fator integrante.

Passo 2

Dividindo ambos os lados por x (positivo), obtemos
y' - \frac{3}{x}\,y = x^{3}\cos(x).
Agora está na forma
y' + p(x)\,y = q(x),
com p(x) = -\tfrac{3}{x} e q(x)=x^{3}\cos(x).

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\!\Bigl(\int p(x)\,dx\Bigr) = \exp\!\Bigl(\int -\frac{3}{x}\,dx\Bigr) = \exp(-3\ln x) = x^{-3}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=x^{-3}:
x^{-3}y' - \frac{3}{x}\,x^{-3}y = x^{-3}\,x^{3}\cos(x) \;\Longrightarrow\; x^{-3}y' - 3x^{-4}y = \cos(x).
O lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-3}y\bigr) = x^{-3}y' - 3x^{-4}y,
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\frac{d}{dx}\bigl(x^{-3}y\bigr) = \cos(x).

Passo 5

Integramos em x:
x^{-3}y = \int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Isolando y:
y(x) = x^{3}\,\bigl(\sin(x) + C\bigr) = x^{3}\sin(x) + C\,x^{3}.

Resposta

\boxed{y(x) = x^{3}\sin(x) + C\,x^{3},\quad C\in\mathbb{R}.}

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