Determine a solução geral das siguentes edo’s lineares:
\left(1+x^{2}\right) y^{\prime}+x y+x^{3}+x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem
(1+x^2)\,y' + x\,y + x^3 + x = 0
e pede a solução geral. O conteúdo aqui é o método do fator integrante para resolver equações do tipo
y' + P(x)\,y = Q(x).

Passo 2

Primeiro dividimos tudo por (1+x^2) para pôr no formato padrão. Assim,
y' + \frac{x}{1+x^2}\,y = -\frac{x^3 + x}{1+x^2}.
Como \frac{x^3+x}{1+x^2} = x, isso fica
y' + \underbrace{\frac{x}{1+x^2}}_{P(x)}\,y = \underbrace{-x}_{Q(x)}.

Passo 3

Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int \frac{x}{1+x^2}\,dx\Bigr).
Fazendo a substituição u=1+x^2, \,du=2x\,dx, obtém-se
\int \frac{x}{1+x^2}\,dx = \frac12\ln(1+x^2),
logo
\mu(x) = e^{\frac12\ln(1+x^2)} = \sqrt{1+x^2}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x). O lado esquerdo virou derivada exata:
\sqrt{1+x^2}\,y' + \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\,y = \frac{d}{dx}\bigl(y\,\sqrt{1+x^2}\bigr),
e o lado direito é
\sqrt{1+x^2}\,\bigl(-x\bigr) = -x\sqrt{1+x^2}.
Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(y\,\sqrt{1+x^2}\bigr) = -x\sqrt{1+x^2}.

Passo 5

Integramos ambos os lados:
y\,\sqrt{1+x^2} = \int -x\sqrt{1+x^2}\,dx + C.
Para a integral, faça u=1+x^2, du=2x\,dx:
\int -x\sqrt{1+x^2}\,dx = -\frac12\int u^{1/2}\,du = -\frac12\cdot\frac{2}{3}u^{3/2} = -\frac{1}{3}(1+x^2)^{3/2}.
Assim
y\,\sqrt{1+x^2} = -\frac{1}{3}(1+x^2)^{3/2} + C.

Passo 6

Isolando y, dividimos por \sqrt{1+x^2}:
y = -\frac{1}{3}\,\frac{(1+x^2)^{3/2}}{\sqrt{1+x^2}} + \frac{C}{\sqrt{1+x^2}} = -\frac{1+x^2}{3} + \frac{C}{\sqrt{1+x^2}}.

Resposta

A solução geral é
\boxed{ y(x) = -\frac{1+x^2}{3} \;+\;\frac{C}{\sqrt{1+x^2}}, }
onde C é constante arbitrária.

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