Determine a solução geral das siguentes edo’s não homogêneas, utilizando o método de coeficientes por determinar:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=\cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea
y'' + y' + y = \cos(x)
pelos coeficientes a determinar. Vamos primeiro encontrar a solução geral da parte homogênea e depois uma solução particular, para então somá-las.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + y' + y = 0.
Formamos a equação característica
r^2 + r + 1 = 0,
cujas raízes são
r = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2} = -\tfrac12 \pm i\,\tfrac{\sqrt{3}}{2}.
Logo a solução homogênea é
y_h = e^{-\frac12 x}\Bigl(C_1\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr) + C_2\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr)\Bigr).

Passo 3

Para a solução particular y_p, tentamos
y_p = A\cos(x) + B\sin(x).
Derivando temos
y_p' = -A\sin(x) + B\cos(x),
y_p'' = -A\cos(x) - B\sin(x).
Substituindo em y''+y'+y:
y_p'' + y_p' + y_p = \bigl(-A\cos x - B\sin x\bigr) + \bigl(-A\sin x + B\cos x\bigr) + \bigl(A\cos x + B\sin x\bigr) = B\cos(x) - A\sin(x).
Como queremos B\cos(x) - A\sin(x)=\cos(x), igualamos coeficientes:
B = 1, \quad -A = 0.
Isso dá
A = 0, \quad B = 1,
portanto
y_p = \sin(x).

Passo 4

A solução geral da equação não homogênea é a soma de y_h com y_p:
y(x) = e^{-\frac12 x}\Bigl(C_1\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr) + C_2\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr)\Bigr) + \sin(x).

Resposta

y(x) = e^{-\frac12 x}\Bigl(C_1\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr) + C_2\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{3}}{2}x\bigr)\Bigr) + \sin(x).

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