Determine a solução geral das siguentes edo’s não homogêneas, utilizando o método de coeficientes por determinar:
y^{\prime \prime}+4 y=\operatorname{sen}(2 x) \cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea
y'' + 4y = \operatorname{sen}(2x)\cos(2x)
usando o método dos coeficientes a determinar. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes: primeiro resolvemos a homogênea e depois achamos uma particular adequada à forma do termo forçante.

Passo 2

Antes de tudo, simplificamos o termo não homogêneo usando a identidade trigonométrica
\operatorname{sen}(2x)\cos(2x) = \frac{1}{2}\operatorname{sen}(4x).
Assim a EDO fica
y'' + 4y = \tfrac12\,\operatorname{sen}(4x).

Passo 3

Resolvemos a equação homogênea
y'' + 4y = 0.
A equação característica é
r^2 + 4 = 0
com raízes r = \pm 2i. Logo a solução homogênea é
y_h = C_1\cos(2x) + C_2\operatorname{sen}(2x).

Passo 4

Para a particular, o lado direito é combinação de \operatorname{sen}(4x) e \cos(4x), então tentamos
y_p = A\cos(4x) + B\operatorname{sen}(4x),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 5

Calculamos a segunda derivada de y_p:
y_p'' = -16A\cos(4x) -16B\operatorname{sen}(4x).
Substituindo na EDO não homogênea:
y_p'' + 4y_p = (-16A\cos(4x)-16B\operatorname{sen}(4x)) +4(A\cos(4x)+B\operatorname{sen}(4x)) = -12A\cos(4x) -12B\operatorname{sen}(4x).
Isto deve ser igual a \tfrac12\operatorname{sen}(4x). Portanto igualamos coeficientes:
-12A = 0, \quad -12B = \tfrac12.

Passo 6

Da primeira equação vem A=0. Da segunda,
B = -\frac{\tfrac12}{12} = -\frac{1}{24}.
Logo a particular é
y_p = -\frac{1}{24}\operatorname{sen}(4x).

Passo 7

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C_1\cos(2x) + C_2\operatorname{sen}(2x) \;-\;\frac{1}{24}\operatorname{sen}(4x).

Resposta

y(x) = C_1\cos(2x) + C_2\operatorname{sen}(2x) - \frac{1}{24}\operatorname{sen}(4x).

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