Determine a solução geral das siguentes edo’s não homogêneas, utilizando o método de coeficientes por determinar:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea
usando o método dos coeficientes a determinar. O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes: primeiro resolvemos a homogênea e depois achamos uma particular adequada à forma do termo forçante.
Passo 2
Antes de tudo, simplificamos o termo não homogêneo usando a identidade trigonométrica
Assim a EDO fica
Passo 3
Resolvemos a equação homogênea
A equação característica é
com raízes
. Logo a solução homogênea é
Passo 4
Para a particular, o lado direito é combinação de
e
, então tentamos
onde
e
são constantes a determinar.
Passo 5
Calculamos a segunda derivada de
:
Substituindo na EDO não homogênea:
Isto deve ser igual a
. Portanto igualamos coeficientes:
Passo 6
Da primeira equação vem
. Da segunda,
Logo a particular é
Passo 7
A solução geral é a soma da homogênea com a particular: