Determine a solução geral das siguentes edo’s não homogêneas, utilizando o método de coeficientes por determinar:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=2 e^{x} \operatorname{sen}(x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO não homogênea
y'' - 2y' - 3y = 2e^{x}\sin x.
O conteúdo é EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos achar primeiro a solução da equação homogênea e depois uma particular pelo método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' - 2y' - 3y = 0.
A equação característica é
r^2 - 2r - 3 = 0
com raízes r=3 e r=-1. Logo a solução homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-x}.

Passo 3

Para a solução particular notamos que o termo não homogêneo é 2e^{x}\sin x. Como 1\pm i não são raízes da característica, assumimos
y_{p}(x)=e^{x}\bigl(A\sin x + B\cos x\bigr).

Passo 4

Defina U(x)=A\sin x+B\cos x, assim
y_{p}=e^{x}U,\quad y_{p}'=e^{x}(U+U'),\quad y_{p}''=e^{x}(U+2U'+U'').
Substituindo na EDO obtém-se
y_{p}''-2y_{p}'-3y_{p} =e^{x}\bigl(U''-4U\bigr) \overset{!!}{=} 2e^{x}\sin x.
Cancelando e^{x}, vem
U''-4U=2\sin x.
Como U''=-A\sin x - B\cos x, temos
-5A\sin x - 5B\cos x = 2\sin x.
Igualando coeficientes dá
-5A=2\implies A=-\tfrac{2}{5}, \quad -5B=0\implies B=0.

Resposta

A solução geral é
y(x)=C_{1}e^{3x}+C_{2}e^{-x}-\frac{2}{5}e^{x}\sin x.

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