Determine a solução geral das siguentes edo’s não homogêneas, utilizando o método de coeficientes por determinar:
y^{\prime \prime}+y=x^{2} \cos (x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação não-homogênea
y'' + y = x^2\cos(x),
usando o método dos coeficientes a determinar. O que vamos precisar é: (i) resolver a parte homogênea para achar y_h; (ii) escolher um ansatz para a solução particular y_p baseado em x^2\cos x, levando em conta as raízes da característica; (iii) determinar os coeficientes igualando y_p''+y_p a x^2\cos x.

Passo 2

Primeiro, a equação homogênea é
y'' + y = 0.
A equação característica é
r^2 + 1 = 0\quad\Longrightarrow\quad r = \pm i.
Logo a solução complementar (homogênea) é
y_h(x) = C_1\cos x + C_2\sin x.

Passo 3

Agora construímos y_p. Como o termo não-homogêneo é x^2\cos x, o ansatz padrão seria
(P_2(x)\cos x + Q_2(x)\sin x),
com P_2 e Q_2 polinômios de grau 2. Porém \cos x e \sin x já aparecem em y_h, então multiplicamos por x (multiplicidade 1). Definimos
y_p(x) = x\bigl[(Ax^2+Bx+C)\cos x + (Dx^2+Ex+F)\sin x\bigr].

Passo 4

Para determinar A,B,C,D,E,F, calculamos
y_p' = S + xS',\quad y_p'' = 2S' + xS'',
onde
S(x) = (Ax^2+Bx+C)\cos x + (Dx^2+Ex+F)\sin x.
Depois mostra-se por cálculo que
y_p'' + y_p = \bigl[6d\,x^2 + (6a+4e)x + 2(b+f)\bigr]\cos x + \bigl[-6a\,x^2 + (6d-4b)x + 2(e-c)\bigr]\sin x.
Esse somatório deve ser igual a
x^2\cos x + 0\cdot\sin x.
Assim obtemos o sistema polinomial
\begin{cases} 6d = 1,\\\\ 6a + 4e = 0,\\\\ 2(b+f)=0,\\\\ -6a = 0,\\\\ 6d - 4b = 0,\\\\ 2(e - c)=0. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo o sistema temos
a=0,\quad d=\tfrac16,\quad b=\tfrac14,\quad e=0,\quad c=0,\quad f=-\tfrac14.
Então
U(x)=Ax^2+Bx+C=\tfrac14\,x,\quad V(x)=Dx^2+Ex+F=\tfrac16\,x^2 - \tfrac14,
e por fim
y_p(x) = x\bigl[\tfrac14 x\cos x +(\tfrac16 x^2 - \tfrac14)\sin x\bigr] = \tfrac{x^2}{4}\cos x + \Bigl(\tfrac{x^3}{6}-\tfrac{x}{4}\Bigr)\sin x.

Passo 6

A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C_1\cos x + C_2\sin x + \frac{x^2}{4}\cos x + \Bigl(\frac{x^3}{6}-\frac{x}{4}\Bigr)\sin x.

Resposta

y(x) = C_1\cos x + C_2\sin x + \frac{x^2}{4}\cos x + \Bigl(\frac{x^3}{6}-\frac{x}{4}\Bigr)\sin x.

Exercícios relacionados