Determine a solução geral das siguentes edo’s não homogêneas, utilizando o método de coeficientes por determinar:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação não-homogênea
usando o método dos coeficientes a determinar. O que vamos precisar é: (i) resolver a parte homogênea para achar
; (ii) escolher um ansatz para a solução particular
baseado em
, levando em conta as raízes da característica; (iii) determinar os coeficientes igualando
a
.
Passo 2
Primeiro, a equação homogênea é
A equação característica é
Logo a solução complementar (homogênea) é
Passo 3
Agora construímos
. Como o termo não-homogêneo é
, o ansatz padrão seria
com
e
polinômios de grau 2. Porém
e
já aparecem em
, então multiplicamos por
(multiplicidade 1). Definimos
Passo 4
Para determinar
, calculamos
onde
Depois mostra-se por cálculo que
Esse somatório deve ser igual a
Assim obtemos o sistema polinomial
Passo 5
Resolvendo o sistema temos
Então
e por fim
Passo 6
A solução geral é a soma da homogênea com a particular: