Determine a solução geral das siguentes edo’s não homogêneas, utilizando o método de coeficientes por determinar:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea
O conteúdo aqui é equações lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo do tipo polinômio vezes exponencial. Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, que consiste em achar primeiro a solução geral da homogênea e depois uma solução particular usando um palpite adequado.
Passo 2
Encontramos a solução da equação homogênea associada
A equação característica é
Portanto
Passo 3
Para a solução particular
, como o termo não homogêneo é
e
corresponde à raiz
da homogênea (multiplicidade 1), multiplicamos o palpite usual por
. Assim fazemos o palpite
onde escolhemos
Passo 4
Calculamos as derivadas de
. Como
, vale
Substituindo em
surge
Agora
e
, logo
Passo 5
Exigimos
ou seja
Comparando coeficientes:
Daí
Passo 6
Com esses valores,
então
A solução geral é a soma da homogênea com a particular: