Determine a solução geral, das siguentes edo’s, de variáveis separáveis (v.s.):
(y \ln (x))^{-1} y^{\prime}=\left(\frac{x}{y+1}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de variáveis separáveis
\bigl(y\ln(x)\bigr)^{-1}y'=\Bigl(\frac{x}{y+1}\Bigr)^{2},
onde y'=dy/dx. Vamos reescrever a EDO na forma dy/dx=f(x)\,g(y) e depois separar as variáveis para integrar ambos os lados.

Passo 2

Multiplicando escalarmente os dois lados por y\ln(x) obtemos
\frac{dy}{dx} = y\ln(x)\,\frac{x^2}{(y+1)^2} = \frac{x^2\ln(x)\,y}{(y+1)^2}.
Agora separamos as variáveis y e x:
\frac{(y+1)^2}{y}\,dy = x^2\ln(x)\,dx.

Passo 3

Integramos cada lado:
Esquerda:
\int \frac{(y+1)^2}{y}\,dy = \int\bigl(y+2+\tfrac1y\bigr)\,dy = \frac{y^2}{2}+2y+\ln\lvert y\rvert.
Direita (por partes, com u=\ln(x), dv=x^2dx):
\int x^2\ln(x)\,dx = \frac{x^3}{3}\ln(x)-\int \frac{x^3}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^3}{3}\ln(x)-\frac{x^3}{9}.

Passo 4

Igualando as duas integrais e incluindo a constante C, temos a solução geral implícita
\frac{y^2}{2}+2y+\ln\lvert y\rvert = \frac{x^3}{3}\ln(x)-\frac{x^3}{9} + C.

Resposta

\frac{y^2}{2}+2y+\ln\lvert y\rvert = \frac{x^3}{3}\ln(x)-\frac{x^3}{9} + C,
que é a solução geral da EDO dada.

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