Determine a solução geral, das siguentes edo’s, de variáveis separáveis (v.s.):
y y^{\prime}+\operatorname{sen}(x)\left(1+y^{2}\right)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y\,y' + \operatorname{sen}(x)\,\bigl(1+y^2\bigr) = 0
por variáveis separáveis. Aqui y' = \tfrac{dy}{dx}. Vamos isolar dy e dx, integrar e obter a solução geral.

Passo 2

Reescrevendo em termos de derivada, temos
y\,\frac{dy}{dx} = -\operatorname{sen}(x)\,\bigl(1+y^2\bigr).
Agora separamos as variáveis, colocando tudo que contém y de um lado e tudo que contém x de outro:
\frac{y}{1+y^2}\,dy = -\operatorname{sen}(x)\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{y}{1+y^2}\,dy = \int -\operatorname{sen}(x)\,dx.
No lado esquerdo, use a substituição u=1+y^2, du=2y\,dy, resultando em
\int \frac{y}{1+y^2}\,dy = \frac12 \ln\bigl(1+y^2\bigr).
No lado direito,
\int -\operatorname{sen}(x)\,dx = \cos(x) + C.

Passo 4

Igualando os resultados das integrais, obtemos a forma implícita da solução:
\frac12 \ln\bigl(1+y^2\bigr) = \cos(x) + C.
Multiplicando por 2 e exponenciando,
\ln\bigl(1+y^2\bigr) = 2\cos(x) + C_1 \quad\Longrightarrow\quad 1+y^2 = e^{C_1}\,e^{2\cos(x)}.
Chamando K = e^{C_1}>0,
1 + y^2 = K\,e^{2\cos(x)}.

Passo 5

Isolando y, a solução geral fica
y^2 = K\,e^{2\cos(x)} - 1 \quad\Longrightarrow\quad y(x) = \pm\sqrt{\,K\,e^{2\cos(x)} - 1\,},
onde K é constante arbitrária positiva.

Resposta

\boxed{y(x) = \pm\sqrt{\,K\,e^{2\cos(x)} - 1\,},\quad K>0.}

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