Determine a solução geral, das siguentes edo’s, de variáveis separáveis (v.s.):
x \operatorname{sen}(y)+\left(x^{2}+1\right) \cos (y) y^{\prime}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de variáveis separáveis
x\sin(y)+(x^{2}+1)\cos(y)\,\frac{dy}{dx}=0.
O conteúdo aqui é reconhecer que podemos escrever todos os termos em y de um lado e os termos em x de outro, e em seguida integrar ambos os lados.

Passo 2

Isolamos \tfrac{dy}{dx} e colocamos os fatores com y num lado e com x no outro. Temos
(x^{2}+1)\cos(y)\,\frac{dy}{dx}=-x\sin(y) \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=-\frac{x\sin(y)}{(x^{2}+1)\cos(y)}.
Dividindo ambos os lados por \cos(y) e multiplicando por dx e por \sin(y) (no lugar certo), obtemos
\frac{\cos(y)}{\sin(y)}\,dy=-\frac{x}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 3

Reconhecemos que
\frac{\cos(y)}{\sin(y)}\,dy=d\bigl(\ln|\sin(y)|\bigr), \quad \frac{x}{x^{2}+1}\,dx=\frac12\,d\bigl(\ln(x^{2}+1)\bigr).
Logo integramos ambos os lados:
\int\frac{\cos(y)}{\sin(y)}\,dy = \int -\frac{x}{x^{2}+1}\,dx \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|\sin(y)\bigr| = -\frac12\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C.

Passo 4

Exponenciando para eliminar o logaritmo, obtemos
\bigl|\sin(y)\bigr| = e^{C}\,(x^{2}+1)^{-\tfrac12}.
Chamando e^{C}=K>0 e absorvendo o sinal em K, a solução implícita geral fica
\sin(y)\,\sqrt{x^{2}+1}=C,
onde C é constante arbitrária real.

Resposta

\displaystyle \sin(y)\,\sqrt{x^{2}+1}=C, com C constante de integração.

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