Determine a solução das siguentes edo’s:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}-4 y=0 \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 3y' - 4y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=1 e y'(0)=0. Vamos usar o método do polinômio característico.

Passo 2

Formamos o polinômio característico associado:
r^2 - 3r - 4 = 0.
Para resolver, aplicamos a fórmula de Bhaskara:
r = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4\cdot1\cdot(-4)}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2}.
Assim obtemos as raízes
r_1 = 4, \quad r_2 = -1.

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral da EDO é
y(x) = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Calculamos y(0)\) e \(y'(0)\) em função de \(C_1\) e \(C_2\): \[y(0) = C_1 + C_2 = 1,
y'(x) = 4C_1 e^{4x} - C_2 e^{-x} \quad\Longrightarrow\quad y'(0) = 4C_1 - C_2 = 0.
Resolvendo o sistema
\begin{cases} C_1 + C_2 = 1,\\\\ 4C_1 - C_2 = 0, \end{cases}
somamos as equações para eliminar (C_2]:
5C_1 = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = \frac{1}{5},
e então
C_2 = 1 - C_1 = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}.

Resposta

\boxed{y(x) = \frac{1}{5}e^{4x} + \frac{4}{5}e^{-x}}.

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