Determine a solução geral das siguentes edo’s:
y^{\prime}=1+e^{y-x+5}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de primeira ordem
y' = 1 + e^{y - x + 5}.
Este tipo de equação não é diretamente linear em y, mas percebemos que a combinação y - x simplifica o termo exponencial. Vamos usar a substituição adequada e depois separar variáveis.

Passo 2

Defina
t = y - x.
Então
\frac{dt}{dx} = \frac{dy}{dx} - 1 = y' - 1.
Como y' = 1 + e^{y - x + 5}, segue que
\frac{dt}{dx} = \bigl(1 + e^{y-x+5}\bigr) - 1 = e^{y-x+5} = e^5\,e^{t}.

Passo 3

Agora temos uma equação separável em t:
\frac{dt}{dx} = e^5\,e^t.
Separe variáveis:
e^{-t}\,dt = e^5\,dx.
Integre ambos os lados:
\int e^{-t}\,dt = \int e^5\,dx.

Passo 4

Calcule as integrais:
-\,e^{-t} = e^5\,x + C,
onde C é constante de integração. Volte à variável original lembrando que t = y - x, de modo que
e^{-t} = e^{-(y-x)} = e^{x-y}.
Logo a expressão fica
-\,e^{x-y} = e^5\,x + C.

Passo 5

Reescreva definindo K = -C:
e^{x-y} = K - e^5\,x.
Tome logaritmo para isolar y:
x - y = \ln\bigl(K - e^5\,x\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y = x - \ln\bigl(K - e^5\,x\bigr),
onde K é constante arbitrária.

Resposta

A solução geral é
y(x) = x - \ln\bigl(C - e^5\,x\bigr),
com C constante de integração.

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