Determine a solução geral do sistema dado. (autovalores complexos)
& d xd t=4 x+5 y & d yd t=2 x+6 y

Passo 1

O sistema
dxdt=4x+5y, dydt=2x+6y
é um sistema linear com coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar o método de autovalores e autovetores da matriz
A=4&52&6

Passo 2

Calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I) =det!4-lambda&52&6-lambda =(4-lambda)(6-lambda)-2cdot5 =lambda^2-10lambda+14
As raízes de
lambda^2-10lambda+14=0
são
lambda1,2=10pmraiz100-562 =5pmraiz11

Passo 3

Para , resolvemos
Da primeira linha segue, por exemplo, o autovetor
Para , de modo análogo, obtemos

Passo 4

A solução geral do sistema é combinação linear das soluções fundamentais
l(x(t),y(t)r) =C1,v1,e^lambda1 t+C2,v2,e^lambda2 t

Resposta

onde e são constantes arbitrárias.

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