Determine a solução geral e as soluções particulares, respectivamente, das equações diferenciais lineares a seguir:
b) \quad\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime \prime}-7 y^{\prime \prime}+10 y^{\prime}=0, \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=0 \\\ y^{\prime \prime}(0)=-4\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: a solução geral da equação diferencial e a solução particular que satisfaz as condições iniciais dadas. As informações fornecidas são:
\text{Equação: }y^{\prime\prime\prime}-7y^{\prime\prime}+10y^{\prime}=0.çã
Condições iniciais:
y(0)=1,\qquad y^{\prime}(0)=0,\qquad y^{\prime\prime}(0)=-4.

Passo 2

Método escolhido (explicação didática): para equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma estratégia padrão é tentar uma solução da forma y=e^{rx}. Isso porque derivar e^{rx} apenas multiplica por r, então as derivadas entram de maneira simples na equação e resulta numa equação algébrica para r — chamada equação característica. As raízes dessa equação característica determinam as soluções independentes que combinamos linearmente para obter a solução geral. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Substituímos y=e^{rx} na equação. Como \dfrac{d}{dx}e^{rx}=r e^{rx}, \dfrac{d^2}{dx^2}e^{rx}=r^2 e^{rx} e \dfrac{d^3}{dx^3}e^{rx}=r^3 e^{rx}, obtemos a equação característica
r^3-7r^2+10r=0.
Fatorando r temos
r\,(r^2-7r+10)=0.
O polinômio quadrático fatoriza como (r-5)(r-2). Portanto as raízes são
r=0,\quad r=2,\quad r=5,
sendo todas distintas.

Passo 4

Como as três raízes são reais e distintas, as soluções independentes são e^{0x}=1, e^{2x} e e^{5x}. A solução geral da equação homogênea é a combinação linear dessas soluções:
y(x)=C_{1}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{5x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Passo 5

Para aplicar as condições iniciais precisamos das derivadas. Calculamos:
y^{\prime}(x)=2C_{2}e^{2x}+5C_{3}e^{5x},
y^{\prime\prime}(x)=4C_{2}e^{2x}+25C_{3}e^{5x}.

Passo 6

Avaliando em x=0 e usando as condições iniciais obtemos um sistema para C_{1},C_{2},C_{3}:
y(0)=C_{1}+C_{2}+C_{3}=1,
y^{\prime}(0)=2C_{2}+5C_{3}=0,
y^{\prime\prime}(0)=4C_{2}+25C_{3}=-4.

Passo 7

Vamos resolver o sistema passo a passo.
Da segunda equação:
2C_{2}+5C_{3}=0\quad\Longrightarrow\quad C_{2}=-\frac{5}{2}C_{3}.
Substituindo na terceira equação:
4\!\left(-\frac{5}{2}C_{3}\right)+25C_{3}=-4.
Calcule o lado esquerdo: 4\cdot(-\tfrac{5}{2})C_{3}=-10C_{3}. Então
-10C_{3}+25C_{3}=15C_{3}=-4.
Logo
C_{3}=-\frac{4}{15}.
Agora C_{2}=-\dfrac{5}{2}C_{3}=-\dfrac{5}{2}\left(-\dfrac{4}{15}\right)=\dfrac{20}{30}=\dfrac{2}{3}.
Finalmente, pela primeira equação:
C_{1}=1-C_{2}-C_{3}=1-\dfrac{2}{3}-\left(-\dfrac{4}{15}\right).
Calcule com denominador 15: 1=\dfrac{15}{15}, \dfrac{2}{3}=\dfrac{10}{15}. Assim
C_{1}=\dfrac{15}{15}-\dfrac{10}{15}+\dfrac{4}{15}=\dfrac{9}{15}=\dfrac{3}{5}.

Passo 8

Escrevendo a solução particular com os valores encontrados:
y(x)=\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{3}e^{2x}-\dfrac{4}{15}e^{5x}.
Podemos verificar rapidamente as condições iniciais: em x=0 temos y(0)=\tfrac{3}{5}+\tfrac{2}{3}-\tfrac{4}{15}=1; a derivada em 0 é 2\cdot\tfrac{2}{3}+5\cdot\left(-\tfrac{4}{15}\right)=\tfrac{4}{3}-\tfrac{4}{3}=0; a segunda derivada em 0 é 4\cdot\tfrac{2}{3}+25\cdot\left(-\tfrac{4}{15}\right)=\tfrac{8}{3}-\tfrac{100}{15}=\tfrac{8}{3}-\tfrac{20}{3}=-\tfrac{12}{3}=-4. Tudo confere.

Resposta

Solução geral: y(x)=C_{1}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{5x}.
Solução particular: y(x)=\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{3}e^{2x}-\dfrac{4}{15}e^{5x}.

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