Determine a solução geral e as soluções particulares, respectivamente, das equações diferenciais lineares a seguir:
b) \quad\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime \prime}-7 y^{\prime \prime}+10 y^{\prime}=0, \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=0 \\\ y^{\prime \prime}(0)=-4\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: a solução geral da equação diferencial e a solução particular que satisfaz as condições iniciais dadas. As informações fornecidas são:
Método escolhido (explicação didática): para equações diferenciais lineares homogêneas com coeficientes constantes, uma estratégia padrão é tentar uma solução da forma y=e^{rx}. Isso porque derivar e^{rx} apenas multiplica por r, então as derivadas entram de maneira simples na equação e resulta numa equação algébrica para r — chamada equação característica. As raízes dessa equação característica determinam as soluções independentes que combinamos linearmente para obter a solução geral. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Substituímos y=e^{rx} na equação. Como \dfrac{d}{dx}e^{rx}=r e^{rx}, \dfrac{d^2}{dx^2}e^{rx}=r^2 e^{rx} e \dfrac{d^3}{dx^3}e^{rx}=r^3 e^{rx}, obtemos a equação característica
r^3-7r^2+10r=0.
Fatorando r temos
r\,(r^2-7r+10)=0.
O polinômio quadrático fatoriza como (r-5)(r-2). Portanto as raízes são
r=0,\quad r=2,\quad r=5,
sendo todas distintas.
Passo 4
Como as três raízes são reais e distintas, as soluções independentes são e^{0x}=1, e^{2x} e e^{5x}. A solução geral da equação homogênea é a combinação linear dessas soluções:
y(x)=C_{1}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{5x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.
Passo 5
Para aplicar as condições iniciais precisamos das derivadas. Calculamos:
y^{\prime}(x)=2C_{2}e^{2x}+5C_{3}e^{5x},
y^{\prime\prime}(x)=4C_{2}e^{2x}+25C_{3}e^{5x}.
Passo 6
Avaliando em x=0 e usando as condições iniciais obtemos um sistema para C_{1},C_{2},C_{3}:
Podemos verificar rapidamente as condições iniciais: em x=0 temos y(0)=\tfrac{3}{5}+\tfrac{2}{3}-\tfrac{4}{15}=1; a derivada em 0 é 2\cdot\tfrac{2}{3}+5\cdot\left(-\tfrac{4}{15}\right)=\tfrac{4}{3}-\tfrac{4}{3}=0; a segunda derivada em 0 é 4\cdot\tfrac{2}{3}+25\cdot\left(-\tfrac{4}{15}\right)=\tfrac{8}{3}-\tfrac{100}{15}=\tfrac{8}{3}-\tfrac{20}{3}=-\tfrac{12}{3}=-4. Tudo confere.