Determine a solução geral e as soluções particulares, respectivamente, das equações diferenciais lineares a seguir:
a) y^{(I V)}-9 y^{\prime \prime}=10 x+5 e^{-3 x}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral e as soluções particulares da equação diferencial linear de coeficientes constantes
y^{(4)} - 9y'' = 10x + 5e^{-3x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é linear, de ordem 4, homogeneidade: termos do lado direito não nulos (não-homogênea).
  • O termo não-homogêneo é a soma de um polinômio 10x (grau 1) e uma exponencial 5e^{-3x}.
  • Vamos precisar da solução da equação homogênea associada e de soluções particulares para cada termo do lado direito.

Passo 2

Primeiro passo técnico: resolver a equação homogênea associada
y^{(4)} - 9y'' = 0.
A técnica padrão é usar a equação característica. Substituímos y = e^{rx} e obtemos a equação polinomial em r:
r^4 - 9 r^2 = 0.
Vou explicar: quando tentamos y=e^{rx}, derivadas viram potências de r multiplicando e^{rx}, então nos resta uma equação só em r.

Passo 3

Resolvendo a equação característica:
r^4 - 9 r^2 = r^2(r^2 - 9) = r^2(r-3)(r+3)=0.
Portanto as raízes são:
r=0\\ \text{(com multiplicidade 2)},\qquad r=3,\qquad r=-3.
Expliquei: r=0 aparece duas vezes, por isso é raiz de multiplicidade 2.

Passo 4

A partir das raízes da característica, construímos a solução complementar (homogênea) y_h. Para uma raiz r=0 de multiplicidade 2, os dois termos independentes correspondentes são 1 e x. Para r=3 e r=-3 obtemos e^{3x} e e^{-3x}. Assim
y_h = C_1 + C_2 x + C_3 e^{3x} + C_4 e^{-3x},
onde C_1,C_2,C_3,C_4 são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora buscamos uma solução particular y_p da equação completa. Como o lado direito é soma de termos independentes, podemos procurar uma solução particular como soma de soluções particulares correspondentes a cada termo:
y_p = y_{p1} + y_{p2},
onde y_{p1} resolve a parte polinomial 10x e y_{p2} resolve a parte exponencial 5e^{-3x}.
Vou explicar o método que usarei (método dos coeficientes indeterminados): escolhemos um “palpite” (ansatz) para a forma de y_{p} com coeficientes desconhecidos, substituímos na equação e determinamos esses coeficientes. Se o palpite colidir com uma solução da homogênea (ressonância), multiplicamos por potências de x até obter independência.

Passo 6

Tratando o termo polinomial 10x (grau 1):
  • Sem ressonância, o ansatz seria um polinômio de grau 1: Ax+B.
  • Mas aqui r=0 é raiz da característica com multiplicidade 2. Isso significa que qualquer polinômio até grau 1 aparece na solução homogênea (de fato 1 e x já estão em y_h). Por causa disso multiplicamos o ansatz por x^m com m igual à multiplicidade da raiz 0, ou seja m=2.
  • Logo tomamos
y_{p1} = x^2(Ax+B) = A x^3 + B x^2,
com A,B indefinidos.
Agora calculamos as derivadas necessárias (serei bem explícito para você poder reproduzir na prova).

Passo 7

Derivadas de y_{p1}=A x^3 + B x^2:
y_{p1}' = 3A x^2 + 2B x,
y_{p1}'' = 6A x + 2B,
y_{p1}''' = 6A,
y_{p1}^{(4)} = 0.
Substituindo na equação y^{(4)} - 9y'' = 10x (só a parte polinomial),
0 - 9(6A x + 2B) = 10x.
Isto dá a igualdade de polinômios
-54A x -18B = 10x + 0.
Comparando coeficientes do polinômio em x:
  • Coeficiente de x: -54A = 10 \Rightarrow A = -\dfrac{10}{54} = -\dfrac{5}{27}.
  • Termo constante: -18B = 0 \Rightarrow B = 0.
Portanto
y_{p1} = -\dfrac{5}{27} x^3.

Passo 8

Agora tratamos o termo exponencial 5e^{-3x}.
  • O palpite usual para uma RHS ke^{\alpha x} é Ce^{\alpha x}. Porém se \alpha é raiz da característica com multiplicidade s, precisamos multiplicar por x^s para evitar ressonância.
  • Aqui \alpha = -3 é raiz da característica com multiplicidade 1 (pois r=-3 é simples). Então multiplicamos por x^1.
  • Assim tomamos o ansatz
y_{p2} = C x e^{-3x},
com C desconhecido.
Vou calcular as derivadas usando uma fórmula prática: para uma função da forma p(x)e^{-3x}, temos D[p e^{-3x}] = (p' - 3p) e^{-3x}. Isso evita muito trabalho repetitivo.

Passo 9

Calculemos as derivadas de y_{p2} = C x e^{-3x} passo a passo (usando p(x)=Cx):
  • y_{p2} = C x e^{-3x}.
  • y_{p2}' = C(1 - 3x)e^{-3x}. (porque p' - 3p = C - 3Cx = C(1-3x))
  • y_{p2}'' = C(9x - 6)e^{-3x}. (aplicando novamente p' -3p com p=1-3x)
  • y_{p2}''' = C(27 - 27x)e^{-3x}.
  • y_{p2}^{(4)} = C(81x - 108)e^{-3x}.
Agora substituímos na equação diferencial (só a parte exponencial):
y^{(4)} - 9y'' = 5e^{-3x}.
Para y_{p2} isso dá
C(81x - 108)e^{-3x} - 9\cdot C(9x - 6)e^{-3x} = 5e^{-3x}.
Fatorando C e^{-3x}:
C\bigl((81x -108) - 81x +54\bigr)e^{-3x} = 5e^{-3x}.
Simplificando o parêntese:
C(-108 + 54)e^{-3x} = C(-54)e^{-3x} = 5e^{-3x}.
Logo
-54 C = 5 \quad\Rightarrow\quad C = -\dfrac{5}{54}.
Portanto
y_{p2} = -\dfrac{5}{54}\, x e^{-3x}.

Passo 10

Somando as soluções particulares obtidas para cada termo:
y_p = y_{p1} + y_{p2} = -\dfrac{5}{27} x^3 - \dfrac{5}{54}\, x e^{-3x}.
Relembro: isso é uma solução particular qualquer da equação completa.

Passo 11

A solução geral y da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea y_h com uma solução particular y_p:
y = y_h + y_p.
Substituindo y_h e y_p encontrados:
y(x) = C_1 + C_2 x + C_3 e^{3x} + C_4 e^{-3x} - \dfrac{5}{27} x^3 - \dfrac{5}{54}\, x e^{-3x},
onde C_1,C_2,C_3,C_4 são constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}e^{3x}+C_{4}e^{-3x}-\dfrac{5}{27}x^{3}-\dfrac{5}{54}x e^{-3x}\n -\dfrac{5}{27}x^{3}-\dfrac{5}{54}x e^{-3x}

Exercícios relacionados