Determine a solução geral e as soluções particulares, respectivamente, das equações diferenciais lineares a seguir:
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral e as soluções particulares da equação diferencial linear de coeficientes constantes
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é linear, de ordem
, homogeneidade: termos do lado direito não nulos (não-homogênea). - O termo não-homogêneo é a soma de um polinômio
(grau ) e uma exponencial . - Vamos precisar da solução da equação homogênea associada e de soluções particulares para cada termo do lado direito.
Passo 2
Primeiro passo técnico: resolver a equação homogênea associada
A técnica padrão é usar a equação característica. Substituímos
e obtemos a equação polinomial em
:
Vou explicar: quando tentamos
, derivadas viram potências de
multiplicando
, então nos resta uma equação só em
.
Passo 3
Resolvendo a equação característica:
Portanto as raízes são:
Expliquei:
aparece duas vezes, por isso é raiz de multiplicidade
.
Passo 4
A partir das raízes da característica, construímos a solução complementar (homogênea)
. Para uma raiz
de multiplicidade
, os dois termos independentes correspondentes são
e
. Para
e
obtemos
e
. Assim
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa. Como o lado direito é soma de termos independentes, podemos procurar uma solução particular como soma de soluções particulares correspondentes a cada termo:
onde
resolve a parte polinomial
e
resolve a parte exponencial
.
Vou explicar o método que usarei (método dos coeficientes indeterminados): escolhemos um “palpite” (ansatz) para a forma de
com coeficientes desconhecidos, substituímos na equação e determinamos esses coeficientes. Se o palpite colidir com uma solução da homogênea (ressonância), multiplicamos por potências de
até obter independência.
Passo 6
Tratando o termo polinomial
(grau
):
- Sem ressonância, o ansatz seria um polinômio de grau
: . - Mas aqui
é raiz da característica com multiplicidade . Isso significa que qualquer polinômio até grau aparece na solução homogênea (de fato e já estão em ). Por causa disso multiplicamos o ansatz por com igual à multiplicidade da raiz , ou seja . - Logo tomamos
com
indefinidos.
Agora calculamos as derivadas necessárias (serei bem explícito para você poder reproduzir na prova).
Passo 7
Derivadas de
:
Substituindo na equação
(só a parte polinomial),
Isto dá a igualdade de polinômios
Comparando coeficientes do polinômio em
:
- Coeficiente de
: - Termo constante:
Portanto
Passo 8
Agora tratamos o termo exponencial
.
- O palpite usual para uma RHS
é . Porém se é raiz da característica com multiplicidade , precisamos multiplicar por para evitar ressonância. - Aqui
é raiz da característica com multiplicidade (pois é simples). Então multiplicamos por . - Assim tomamos o ansatz
com
desconhecido.
Vou calcular as derivadas usando uma fórmula prática: para uma função da forma
, temos
. Isso evita muito trabalho repetitivo.
Passo 9
Calculemos as derivadas de
passo a passo (usando
):
-
. -
. (porque ) -
. (aplicando novamente com ) -
. -
.
Agora substituímos na equação diferencial (só a parte exponencial):
Para
isso dá
Fatorando
:
Simplificando o parêntese:
Logo
Portanto
Passo 10
Somando as soluções particulares obtidas para cada termo:
Relembro: isso é uma solução particular qualquer da equação completa.
Passo 11
A solução geral
da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea
com uma solução particular
:
Substituindo
e
encontrados:
onde
são constantes arbitrárias.