Determine a solução geral e as soluções particulares, respectivamente, das equações diferenciais lineares a seguir:
c) y^{\prime \prime}+9 y=\operatorname{cosec} 3 x
Passo 1
Temos a equação diferencial dada
y''+9y=\operatorname{cosec}3x=\frac{1}{\sin 3x}.
O que o enunciado pede:
Determinar a solução geral da equação (ou seja, a família completa de soluções com constantes arbitrárias).
Determinar uma(s) solução(ões) particular(es) (ou seja, uma função específica que satisfaça a equação não homogênea).
Informações relevantes fornecidas:
É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo g(x)=\frac{1}{\sin 3x}.
O termo g(x) é singular quando \sin 3x=0; portanto as soluções só fazem sentido em intervalos onde \sin 3x\neq0 (por exemplo intervalos do tipo \left(\frac{k\pi}{3},\frac{(k+1)\pi}{3}\right)).
Ainda não se resolveu nada; apenas identificamos o pedido e os dados.
Passo 2
Escolha do método: existem várias técnicas para resolver equações lineares não homogêneas. Uma muito usada é o método dos coeficientes indeterminados, mas esse método funciona quando g(x) é uma combinação de polinômios, exponenciais, senos e cossenos (ou produto desses), de forma que se possa adivinhar uma forma candidata. Aqui g(x)=\csc 3x (recíproco de seno) não é desse tipo, então coeficientes indeterminados não é adequado. Por isso escolhemos o método da variação de parâmetros, que é mais geral: dá uma forma explícita para uma solução particular usando integrais envolvendo as soluções fundamentais da homogênea. Vou usar variação de parâmetros e explicar cada passo.
Passo 3
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y''+9y=0.
Montamos a equação característica
r^2+9=0,
cujas raízes são r=\pm 3i. Para raízes puramente imaginárias \pm 3i a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1\cos 3x + C_2\sin 3x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Essas duas funções \cos 3x e \sin 3x formam um par fundamental de soluções, isto é, são linearmente independentes.
Passo 4
Apresento agora a fórmula de variação de parâmetros para uma equação do tipo y''+p(x)y'+q(x)y=g(x). Se y_1,y_2 são duas soluções fundamentais da homogênea, uma solução particular y_p pode ser escrita como
onde W é o Wronskiano W=y_1y_2'-y_1'y_2. Nesse método, os constantes de integração das integrais são desprezados (ou incorporados em y_h), então basta escolher quaisquer primitivas. Aqui escolhemos
y_1(x)=\cos 3x,\qquad y_2(x)=\sin 3x.
Passo 5
Calculamos o Wronskiano W. Temos y_1'=-3\sin 3x e y_2'=3\cos 3x. Então
Você pode reorganizar os termos agrupando \cos 3x e \sin 3x se quiser, mas a forma acima deixa claro a parte homogênea (com constantes C_1,C_2) e a parte particular.