Determine a solução geral e as soluções particulares, respectivamente, das equações diferenciais lineares a seguir:
c) y^{\prime \prime}+9 y=\operatorname{cosec} 3 x

Passo 1

Temos a equação diferencial dada
y''+9y=\operatorname{cosec}3x=\frac{1}{\sin 3x}.
O que o enunciado pede:
  • Determinar a solução geral da equação (ou seja, a família completa de soluções com constantes arbitrárias).
  • Determinar uma(s) solução(ões) particular(es) (ou seja, uma função específica que satisfaça a equação não homogênea).
Informações relevantes fornecidas:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo g(x)=\frac{1}{\sin 3x}.
  • O termo g(x) é singular quando \sin 3x=0; portanto as soluções só fazem sentido em intervalos onde \sin 3x\neq0 (por exemplo intervalos do tipo \left(\frac{k\pi}{3},\frac{(k+1)\pi}{3}\right)).
  • Ainda não se resolveu nada; apenas identificamos o pedido e os dados.

Passo 2

Escolha do método: existem várias técnicas para resolver equações lineares não homogêneas. Uma muito usada é o método dos coeficientes indeterminados, mas esse método funciona quando g(x) é uma combinação de polinômios, exponenciais, senos e cossenos (ou produto desses), de forma que se possa adivinhar uma forma candidata. Aqui g(x)=\csc 3x (recíproco de seno) não é desse tipo, então coeficientes indeterminados não é adequado. Por isso escolhemos o método da variação de parâmetros, que é mais geral: dá uma forma explícita para uma solução particular usando integrais envolvendo as soluções fundamentais da homogênea. Vou usar variação de parâmetros e explicar cada passo.

Passo 3

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y''+9y=0.
Montamos a equação característica
r^2+9=0,
cujas raízes são r=\pm 3i. Para raízes puramente imaginárias \pm 3i a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1\cos 3x + C_2\sin 3x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Essas duas funções \cos 3x e \sin 3x formam um par fundamental de soluções, isto é, são linearmente independentes.

Passo 4

Apresento agora a fórmula de variação de parâmetros para uma equação do tipo y''+p(x)y'+q(x)y=g(x). Se y_1,y_2 são duas soluções fundamentais da homogênea, uma solução particular y_p pode ser escrita como
y_p=-y_1\int\frac{y_2\,g}{W}\,dx + y_2\int\frac{y_1\,g}{W}\,dx,
onde W é o Wronskiano W=y_1y_2'-y_1'y_2. Nesse método, os constantes de integração das integrais são desprezados (ou incorporados em y_h), então basta escolher quaisquer primitivas. Aqui escolhemos
y_1(x)=\cos 3x,\qquad y_2(x)=\sin 3x.

Passo 5

Calculamos o Wronskiano W. Temos y_1'=-3\sin 3x e y_2'=3\cos 3x. Então
W=y_1y_2'-y_1'y_2=\cos 3x\cdot(3\cos 3x)-(-3\sin 3x)\cdot\sin 3x.
Simplificando,
W=3(\cos^2 3x+\sin^2 3x)=3.
Portanto o Wronskiano é constante e igual a 3 — isso facilita bastante as integrais.

Passo 6

Agora calculamos as integrais que aparecem na fórmula de variação de parâmetros. Lembremos que g(x)=\csc 3x=\dfrac{1}{\sin 3x}.
Primeira integral:
\int\frac{y_2\,g}{W}\,dx=\int\frac{\sin 3x\cdot\frac{1}{\sin 3x}}{3}\,dx=\int\frac{1}{3}\,dx=\frac{x}{3}.
Segunda integral:
\int\frac{y_1\,g}{W}\,dx=\int\frac{\cos 3x\cdot\frac{1}{\sin 3x}}{3}\,dx=\frac{1}{3}\int\cot 3x\,dx.
Para integrar \cot 3x fazemos a substituição u=3x, du=3dx, então
\int\cot 3x\,dx=\frac{1}{3}\int\cot u\,du=\frac{1}{3}\ln\bigl|\sin u\bigr|+\text{const}=\frac{1}{3}\ln\bigl|\sin 3x\bigr|+\text{const}.
Multiplicando pelo fator \frac{1}{3} que estava fora, obtemos
\int\frac{y_1\,g}{W}\,dx=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{3}\ln\bigl|\sin 3x\bigr|=\frac{1}{9}\ln\bigl|\sin 3x\bigr|.
Observação útil: as constantes de integração que surgiriam aqui podem ser adicionadas à solução homogênea, então não precisamos escrevê-las na y_p.

Passo 7

Aplicando a fórmula de variação de parâmetros:
y_p=-y_1\cdot\left(\frac{x}{3}\right)+y_2\cdot\left(\frac{1}{9}\ln\bigl|\sin 3x\bigr|\right).
Substituindo y_1=\cos 3x e y_2=\sin 3x, obtemos uma solução particular explícita:
y_p(x)=-\frac{x}{3}\cos 3x+\frac{1}{9}\sin 3x\;\ln\bigl|\sin 3x\bigr|.
Lembre-se que essa expressão só é definida nos intervalos onde \sin 3x\neq0, pois o termo \ln|\sin 3x| e \csc 3x exigem isso.

Passo 8

A solução geral da equação não homogênea é a soma da solução geral da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1\cos 3x + C_2\sin 3x -\frac{x}{3}\cos 3x+\frac{1}{9}\sin 3x\;\ln\bigl|\sin 3x\bigr|.
Você pode reorganizar os termos agrupando \cos 3x e \sin 3x se quiser, mas a forma acima deixa claro a parte homogênea (com constantes C_1,C_2) e a parte particular.

Resposta

Solução geral: y(x)=C_1\cos 3x + C_2\sin 3x -\dfrac{x}{3}\cos 3x+\dfrac{1}{9}\sin 3x\;\ln\bigl|\sin 3x\bigr|
Soluções particulares: y_p(x)=-\dfrac{x}{3}\cos 3x+\dfrac{1}{9}\sin 3x\;\ln\bigl|\sin 3x\bigr| (válida em intervalos onde \sin 3x\neq0)

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