Determine a solução geral:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação envolve
(derivada de em relação a ). - Há termos que contêm
no denominador quando isolamos ; portanto é um ponto singular (a solução obtida a seguir valerá para ). - Deve-se encontrar a família de soluções gerais (com constante arbitrária) — além de possíveis soluções constantes especiais (como
).
Passo 2
Vamos colocar a equação em uma forma mais conveniente para identificar um método. Dividindo ambos os lados por
(válido para
) obtemos
Esta é uma equação de primeira ordem não linear do tipo onde aparece um termo em
. Uma técnica padrão aqui é usar a substituição
porque isso transforma termos em
em termos lineares em
. Antes de aplicar a substituição, note que essa transformação exige
; a solução
deve ser verificada separadamente.
Passo 3
Calcule a derivada de
em função de
:
Agora vamos dividir a equação original por
(assumindo
) para aplicar essa relação. Partindo de
dividindo por
obtemos
Substituindo
e
, a equação transforma-se em uma equação linear para
:
Multiplicando por
obtemos
Passo 4
Agora resolvemos a equação linear de primeira ordem
A técnica é o fator integrante. O fator integrante
é
Para trabalhar de forma simples, consideramos
e tomamos
(o sinal absoluto apenas afeta a escolha de constante em intervalos onde
tem sinal fixo). Multiplicando a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Calcule a integral por partes:
Substituindo (e absorvendo constantes) obtemos
Dividindo por
e por
(novamente
):
portanto
Passo 6
Voltando à variável original
usando
:
Colocando em denominador comum no lado direito:
Invertendo ambos os lados (novamente válido para
e
):
Aqui
é a constante arbitrária de integração. Lembre-se de que a solução encontrada assume
e
.
Passo 7
Não esquecer soluções especiais: testar
na equação original:
logo
é solução válida (esta solução não aparece na substituição
).