Determine a solução geral:
x y^{\prime}-(1+x) y=x y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,y'-(1+x)\,y = x\,y^{2},
e pede a solução geral y(x).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A equação envolve y' (derivada de y em relação a x).
  • Há termos que contêm x no denominador quando isolamos y'; portanto x=0 é um ponto singular (a solução obtida a seguir valerá para x\neq0).
  • Deve-se encontrar a família de soluções gerais (com constante arbitrária) — além de possíveis soluções constantes especiais (como y\equiv0).

Passo 2

Vamos colocar a equação em uma forma mais conveniente para identificar um método. Dividindo ambos os lados por x (válido para x\neq0) obtemos
y' = \left(1+\frac{1}{x}\right)y + y^{2}.
Esta é uma equação de primeira ordem não linear do tipo onde aparece um termo em y^{2}. Uma técnica padrão aqui é usar a substituição
z=\frac{1}{y},
porque isso transforma termos em y^{2} em termos lineares em z. Antes de aplicar a substituição, note que essa transformação exige y\neq0; a solução y\equiv0 deve ser verificada separadamente.

Passo 3

Calcule a derivada de z em função de y:
z=\frac{1}{y}\quad\Rightarrow\quad z'=-\frac{y'}{y^{2}}.
Agora vamos dividir a equação original por y^{2} (assumindo y\neq0) para aplicar essa relação. Partindo de
y' - \left(1+\frac{1}{x}\right)y = y^{2},
dividindo por y^{2} obtemos
\frac{y'}{y^{2}} - \left(1+\frac{1}{x}\right)\frac{1}{y} = 1.
Substituindo \dfrac{y'}{y^{2}} = -z' e \dfrac{1}{y}=z, a equação transforma-se em uma equação linear para z:
- z' - \left(1+\frac{1}{x}\right)z = 1.
Multiplicando por -1 obtemos
z' + \left(1+\frac{1}{x}\right) z = -1.

Passo 4

Agora resolvemos a equação linear de primeira ordem
z' + \left(1+\frac{1}{x}\right) z = -1.
A técnica é o fator integrante. O fator integrante \mu(x) é
\mu(x)=\exp\!\left(\int\left(1+\frac{1}{x}\right)\,dx\right)=\exp\!\left(x+\ln|x|\right)=|x|e^{x}.
Para trabalhar de forma simples, consideramos x\neq0 e tomamos \mu(x)=x e^{x} (o sinal absoluto apenas afeta a escolha de constante em intervalos onde x tem sinal fixo). Multiplicando a equação por \mu(x):
x e^{x} z' + x e^{x}\left(1+\frac{1}{x}\right)z = - x e^{x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto \mu z:
\frac{d}{dx}\left(x e^{x} z\right) = - x e^{x}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
x e^{x} z = -\int x e^{x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Calcule a integral por partes:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + \text{const} = (x-1)e^{x} + \text{const}.
Substituindo (e absorvendo constantes) obtemos
x e^{x} z = - (x-1)e^{x} + C.
Dividindo por e^{x} e por x (novamente x\neq0):
x z = -x + 1 + C e^{-x},
portanto
z = -1 + \frac{1}{x} + \frac{C e^{-x}}{x}.

Passo 6

Voltando à variável original y usando z=1/y:
\frac{1}{y} = -1 + \frac{1}{x} + \frac{C e^{-x}}{x}.
Colocando em denominador comum no lado direito:
\frac{1}{y} = \frac{-x+1 + C e^{-x}}{x}.
Invertendo ambos os lados (novamente válido para y\neq0 e x\neq0):
y = \frac{x}{-x+1 + C e^{-x}} = \frac{x}{1 - x + C e^{-x}}.
Aqui C é a constante arbitrária de integração. Lembre-se de que a solução encontrada assume x\neq0 e y\neq0.

Passo 7

Não esquecer soluções especiais: testar y\equiv0 na equação original:
x\cdot 0' - (1+x)\cdot 0 = 0 = x\cdot 0^{2},
logo y\equiv0 é solução válida (esta solução não aparece na substituição z=1/y).

Resposta

y\equiv 0
y(x)=\dfrac{x}{1 - x + C e^{-x}},\quad C\in\mathbb{R},\; x\neq0

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