Resolva o PVI e determine o intervalo de validade da solução.
2 y^{\prime} \ln x+\frac{y}{x}=\frac{1}{y}, y(e)=\sqrt{e}.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
2\,y'(x)\ln x+\frac{y(x)}{x}=\frac{1}{y(x)},\qquad y(e)=\sqrt{e}.
O que é pedido:
  • Encontrar a solução y(x) do problema de valor inicial (PVI).
  • Determinar o intervalo de validade (domínio maximal) dessa solução que contenha x=e.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é y(x) e y' denota \dfrac{dy}{dx}.
  • A equação envolve \ln x, portanto faz sentido apenas para x>0 (ou x<0 com log complexo, mas aqui buscamos solução real).
  • A condição inicial é dada em x=e (onde \ln e=1), o que indica que o intervalo de validade deverá conter x=e.

Passo 2

Vamos transformar a equação para uma forma mais tratável. Uma observação útil é tentar eliminar o termo \dfrac{1}{y}. Considere a substituição
v(x)=y(x)^2.
Esta escolha costuma ser boa quando aparecem termos como y e \dfrac{1}{y}, porque a derivada de v é simples em termos de y:
v'(x)=2y(x)\,y'(x).
Agora vamos expressar a equação original em termos de v. Multiplicando a equação original por 1 conveniente: já que 2y'\ln x aparece, multiplicando por y e usando v' vai simplificar.

Passo 3

Reescrevendo com v:
A equação original é
2y'\ln x+\frac{y}{x}=\frac{1}{y}.
Multiplicando ambos os lados por y (válido enquanto y\neq0; veremos consistência depois):
2y y'\ln x+\frac{y^2}{x}=1.
Usando v'=2y y' e v=y^2 obtemos
v'(x)\ln x+\frac{v(x)}{x}=1.
Isolando v',
v'(x)=\frac{1}{\ln x}-\frac{v(x)}{x\ln x}.
Ou escrevendo na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
v'(x)+\frac{1}{x\ln x}\,v(x)=\frac{1}{\ln x}.

Passo 4

Agora resolvemos essa equação linear para v(x). A forma é
v'+p(x)v=q(x),
com p(x)=\dfrac{1}{x\ln x} e q(x)=\dfrac{1}{\ln x}.
O fator integrante \mu(x) é
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big)=\exp\!\Big(\int\frac{1}{x\ln x}\,dx\Big).
Para calcular \int\dfrac{1}{x\ln x}\,dx use a substituição t=\ln x (então dt=\dfrac{dx}{x}), obtendo
\int\frac{1}{x\ln x}\,dx=\int\frac{1}{t}\,dt=\ln|t|=\ln|\ln x|.
Portanto
\mu(x)=\exp(\ln|\ln x|)=|\ln x|.
Como a condição inicial está em x=e>1, temos \ln x>0 no intervalo de interesse, então podemos tomar simplesmente \mu(x)=\ln x (sem o valor absoluto) para o intervalo que contém x=e.

Passo 5

Multiplicando a equação linear por \mu(x)=\ln x obtemos
\ln x\;v'(x)+\frac{1}{x}\,v(x)=1.
Repare que o lado esquerdo é a derivada do produto \ln x\cdot v(x), porque
\frac{d}{dx}\big(\ln x\cdot v(x)\big)=\ln x\;v'(x)+\frac{1}{x}\,v(x).
Logo
\frac{d}{dx}\big(\ln x\;v(x)\big)=1.
Integrando em x,
\ln x\;v(x)=x+C,
onde C é constante de integração. Assim
v(x)=\frac{x+C}{\ln x}.

Passo 6

Aplicamos a condição inicial. Lembrando que v(x)=y(x)^2 e y(e)=\sqrt{e}, temos
v(e)=y(e)^2=(\sqrt{e})^2=e.
Usando a expressão geral para v em x=e (onde \ln e=1):
v(e)=\frac{e+C}{\ln e}=\frac{e+C}{1}=e.
Logo e+C=e, o que implica C=0.
Portanto a solução para v é
v(x)=\frac{x}{\ln x}.

Passo 7

Voltando a y, lembrando v=y^2, obtemos
y(x)^2=\frac{x}{\ln x}.
Tomando raiz quadrada, as soluções formais são
y(x)=\pm\sqrt{\frac{x}{\ln x}}.
Para satisfazer a condição inicial y(e)=\sqrt{e}>0 escolhemos o sinal positivo. Assim
y(x)=\sqrt{\frac{x}{\ln x}}.
Agora determinamos o intervalo de validade. Condições a considerar:
  • \ln x aparece no denominador: precisamos \ln x\neq0, ou seja x\neq1.
  • Para que o radicando \dfrac{x}{\ln x} seja não negativo (solução real), deve valer \dfrac{x}{\ln x}>0.
    • Para x>1 temos \ln x>0 e x>0 então \dfrac{x}{\ln x}>0.
    • Para 0<x<1 temos \ln x<0 e x>0 então \dfrac{x}{\ln x}<0 (impossível para y^2 real).
  • Também a equação original envolve \ln x multiplicando y'; a passagem que fez \mu=\ln x assumiu intervalos onde \ln x tem sinal definido. Como a condição inicial está em x=e, o intervalo natural que contém e e evita x=1 é (1,\infty).
Portanto a solução real que satisfaz o PVI e é definida em um intervalo contendo x=e é válida para todo x em
(1,\infty).

Resposta

y(x)=\sqrt{\dfrac{x}{\ln x}}\n
Intervalo de validade: (1,\infty)

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