Resolva o PVI e determine o intervalo de validade da solução.
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial com condição inicial:
O que é pedido:
- Encontrar a solução
do problema de valor inicial (PVI). - Determinar o intervalo de validade (domínio maximal) dessa solução que contenha
.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é
e denota . - A equação envolve
, portanto faz sentido apenas para (ou com log complexo, mas aqui buscamos solução real). - A condição inicial é dada em
(onde ), o que indica que o intervalo de validade deverá conter .
Passo 2
Vamos transformar a equação para uma forma mais tratável. Uma observação útil é tentar eliminar o termo
. Considere a substituição
Esta escolha costuma ser boa quando aparecem termos como
e
, porque a derivada de
é simples em termos de
:
Agora vamos expressar a equação original em termos de
. Multiplicando a equação original por
conveniente: já que
aparece, multiplicando por
e usando
vai simplificar.
Passo 3
Reescrevendo com
:
A equação original é
A equação original é
Multiplicando ambos os lados por
(válido enquanto
; veremos consistência depois):
Usando
e
obtemos
Isolando
,
Ou escrevendo na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Passo 4
Agora resolvemos essa equação linear para
. A forma é
com
e
.
O fator integrante
é
Para calcular
use a substituição
(então
), obtendo
Portanto
Como a condição inicial está em
, temos
no intervalo de interesse, então podemos tomar simplesmente
(sem o valor absoluto) para o intervalo que contém
.
Passo 5
Multiplicando a equação linear por
obtemos
Repare que o lado esquerdo é a derivada do produto
, porque
Logo
Integrando em
,
onde
é constante de integração. Assim
Passo 6
Aplicamos a condição inicial. Lembrando que
e
, temos
Usando a expressão geral para
em
(onde
):
Logo
, o que implica
.
Portanto a solução para
é
Passo 7
Voltando a
, lembrando
, obtemos
Tomando raiz quadrada, as soluções formais são
Para satisfazer a condição inicial
escolhemos o sinal positivo. Assim
Agora determinamos o intervalo de validade. Condições a considerar:
-
aparece no denominador: precisamos , ou seja . - Para que o radicando
seja não negativo (solução real), deve valer . - Para
temos e então . - Para
temos e então (impossível para real).
- Para
- Também a equação original envolve
multiplicando ; a passagem que fez assumiu intervalos onde tem sinal definido. Como a condição inicial está em , o intervalo natural que contém e evita é .
Portanto a solução real que satisfaz o PVI e é definida em um intervalo contendo
é válida para todo
em
Resposta
Intervalo de validade: