Determine a solução geral:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede a solução geral
. As informações relevantes que temos são:
- A incógnita é a função
. - A equação é válida apenas para
(porque aparece ). - Deve-se encontrar a família de soluções com constante(s) arbitrária(s) e indicar restrições de domínio (por exemplo pontos onde a expressão fica indefinida).
Passo 2
Vamos manipular a equação para colocá‑la numa forma útil. Reescrevendo,
Esta é uma equação não linear em
por causa do termo
. Há um método padrão para equações desse tipo que transforma a equação num problema linear através de uma substituição: quando aparece um termo
do lado direito, costuma‑se usar a substituição
. Aqui o expoente é
, logo a substituição a tentar é
Agora vou calcular
em função de
e
, passo a passo:
Substituo
usando a equação dada
:
Como
, obtemos a equação linear em
:
Reescrevendo em forma padrão:
Passo 3
Vou resolver a equação linear de primeira ordem
Explico o método do fator integrante de maneira clara: para uma equação da forma
, o fator integrante é
Aqui
, então
Como estamos trabalhando em intervalos onde
tem sinal fixo (e já sabemos
), podemos escolher
(isto corresponde a fixar o sinal do intervalo). Multiplicando a equação por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada do produto
, porque
. Assim
Agora integro ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Logo
Passo 4
Volto à variável original
. Lembre que
, então
Vou simplificar a expressão do lado direito em uma única fração para inverter com calma:
Portanto
Invertendo ambos os lados (desde que o lado direito não seja zero),
Podemos renomear a constante arbitrária
por outra constante
(qualquer constante real), ficando a família de soluções na forma mais simples
onde
é uma constante real arbitrária.
Passo 5
Verificações e soluções singulares:
- A substituição
excluiu a possibilidade . Verifico diretamente na equação original: se então e o lado direito . Logo é de fato uma solução (solução trivial) e deve ser mencionada separadamente. - Na família
é preciso garantir que e (denominador não nulo). Assim cada solução está definida em intervalos onde tem sinal fixo e onde .