Determine a solução geral:
y^{\prime}=x^{-1} y+y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = x^{-1}y + y^{2},
e pede a solução geral y(x). As informações relevantes que temos são:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação é válida apenas para x\neq 0 (porque aparece x^{-1}).
  • Deve-se encontrar a família de soluções com constante(s) arbitrária(s) e indicar restrições de domínio (por exemplo pontos onde a expressão fica indefinida).

Passo 2

Vamos manipular a equação para colocá‑la numa forma útil. Reescrevendo,
y' - x^{-1}y = y^{2}.
Esta é uma equação não linear em y por causa do termo y^{2}. Há um método padrão para equações desse tipo que transforma a equação num problema linear através de uma substituição: quando aparece um termo y^{n} do lado direito, costuma‑se usar a substituição u=y^{1-n}. Aqui o expoente é n=2, logo a substituição a tentar é
u = y^{1-2} = y^{-1} = \frac{1}{y}.
Agora vou calcular u' em função de y e y', passo a passo:
u = \frac{1}{y}\quad\Rightarrow\quad u' = -\frac{y'}{y^{2}}.
Substituo y' usando a equação dada y' = x^{-1}y + y^{2}:
u' = -\frac{x^{-1}y + y^{2}}{y^{2}} = -\left(\frac{x^{-1}y}{y^{2}} + \frac{y^{2}}{y^{2}}\right) = -\left(x^{-1}\frac{1}{y} + 1\right).
Como \dfrac{1}{y}=u, obtemos a equação linear em u:
u' = -x^{-1}u - 1.
Reescrevendo em forma padrão:
u' + x^{-1}u = -1.

Passo 3

Vou resolver a equação linear de primeira ordem
u' + x^{-1}u = -1.
Explico o método do fator integrante de maneira clara: para uma equação da forma u' + p(x)u = q(x), o fator integrante é
\mu(x) = \exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Aqui p(x)=x^{-1}, então
\mu(x)=\exp\!\left(\int x^{-1}\,dx\right)=\exp(\ln|x|)=|x|.
Como estamos trabalhando em intervalos onde x tem sinal fixo (e já sabemos x\neq0), podemos escolher \mu(x)=x (isto corresponde a fixar o sinal do intervalo). Multiplicando a equação por \mu(x)=x obtemos
x u' + u = -x.
O lado esquerdo é a derivada do produto x u, porque (x u)' = x u' + u. Assim
(xu)' = -x.
Agora integro ambos os lados em relação a x:
\int (xu)' \,dx = \int -x\,dx \quad\Longrightarrow\quad xu = -\frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é constante de integração. Logo
u(x) = -\frac{x}{2} + \frac{C}{x}.

Passo 4

Volto à variável original y. Lembre que u=\dfrac{1}{y}, então
\frac{1}{y} = -\frac{x}{2} + \frac{C}{x}.
Vou simplificar a expressão do lado direito em uma única fração para inverter com calma:
-\frac{x}{2} + \frac{C}{x} = \frac{-x^{2} + 2C}{2x}.
Portanto
\frac{1}{y} = \frac{-x^{2} + 2C}{2x}.
Invertendo ambos os lados (desde que o lado direito não seja zero),
y(x) = \frac{2x}{-x^{2} + 2C} = \frac{2x}{2C - x^{2}}.
Podemos renomear a constante arbitrária 2C por outra constante K (qualquer constante real), ficando a família de soluções na forma mais simples
y(x) = \frac{2x}{K - x^{2}},
onde K é uma constante real arbitrária.

Passo 5

Verificações e soluções singulares:
  • A substituição u=1/y excluiu a possibilidade y\equiv 0. Verifico diretamente na equação original: se y\equiv 0 então y'=0 e o lado direito x^{-1}y+y^{2}=0. Logo y\equiv 0 é de fato uma solução (solução trivial) e deve ser mencionada separadamente.
  • Na família y(x)=\dfrac{2x}{K-x^{2}} é preciso garantir que x\neq 0 e K-x^{2}\neq 0 (denominador não nulo). Assim cada solução está definida em intervalos onde x tem sinal fixo e onde x^{2}\neq K.

Resposta

y(x)=\frac{2x}{K-x^{2}},\quad K\in\mathbb{R},\\ x\neq0,\\ x^{2}\neq K
y(x)\equiv 0

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