Um tanque contém uma solução de água salgada que consiste inicialmente em 20 kg de sal dissolvido em 10 litros de água. Água fresca está sendo derramada no tanque a uma taxa de 3 litros/min e a solução (mantida uniforme por agitação) está fluindo para fora em 2 litros/min. Encontre a quantidade de sal no tanque após 5 minutos.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos:
    • Quantidade inicial de sal: 20 kg.
    • Volume inicial de água: 10 litros.
    • Entrada: água fresca (sem sal) à taxa de 3 litros/min.
    • Saída: solução perfeitamente misturada à taxa de 2 litros/min.
  • O que se pede:
    • Encontrar a quantidade de sal no tanque após 5 minutos.

Passo 2

Definir variáveis e entender o comportamento do volume e da concentração.
  • Seja S(t) a quantidade de sal (em kg) no tanque no instante t (em minutos). Queremos S(5).
  • O volume do líquido no tanque varia porque entra mais líquido do que sai. Como entra 3 L/min e sai 2 L/min, o volume aumenta a 1 L/min. Assim: V(t)=10+t\quad\text{(litros)}.
  • A concentração de sal na solução homogênea no tempo t é \text{concentração}(t)=\frac{S(t)}{V(t)}=\frac{S(t)}{10+t}\quad\text{(kg por litro)}.çãIsto significa: cada litro que sai leva consigo \dfrac{S(t)}{10+t} kg de sal.

Passo 3

Montar a equação de balanço de massa (taxa de variação do sal).
  • Regra geral: \dfrac{dS}{dt}=\text{taxa de entrada de sal}-\text{taxa de saída de sal}.í
  • Aqui a água que entra é fresca (sem sal), então a taxa de entrada de sal é 0.
  • A taxa de saída de sal é a vazão de saída multiplicada pela concentração no tanque: \text{taxa de saída} = 2\cdot \frac{S(t)}{10+t}\quad\text{(kg/min)}.í
  • Portanto o balanço dá a equação diferencial: \frac{dS}{dt} = -2\cdot\frac{S(t)}{10+t}.

Passo 4

Resolver a equação diferencial (método das variáveis separáveis) e explicar cada passo.
  • A equação é separável: podemos escrever \frac{dS}{S} = -2\cdot\frac{dt}{10+t}.
  • Integrando ambos os lados: \int \frac{dS}{S} = \int -2\cdot\frac{dt}{10+t}.
  • As integrais são: \ln|S| = -2\ln(10+t) + C,onde C é a constante de integração.
  • Exponenciando (e tomando S>0 porque é massa de sal), obtemos a forma geral da solução: S(t) = C\,(10+t)^{-2}.

Passo 5

Usar a condição inicial para determinar a constante e obter a solução particular.
  • Condição inicial: S(0)=20.
  • Substituindo em S(t)=C(10+t)^{-2} com t=0: 20 = C\cdot 10^{-2}.
  • Logo C = 20\cdot 10^{2} = 20\cdot 100 = 2000.
  • Assim a solução particular é S(t)=\frac{2000}{(10+t)^{2}}.

Passo 6

Calcular S(5) e interpretar o resultado.
  • Substituindo t=5 em S(t): S(5)=\frac{2000}{(10+5)^{2}}=\frac{2000}{15^{2}}=\frac{2000}{225}.
  • Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 25: \frac{2000}{225}=\frac{80}{9}\quad\text{(kg)}.
  • Em forma decimal aproximada: \frac{80}{9}\approx 8,888\ldots\\ \text{kg}.
  • Interpretação rápida: a massa de sal diminui porque entra água sem sal e sai solução diluída; mesmo com aumento do volume total, a fração de sal cai ao longo do tempo.

Resposta

\dfrac{80}{9}\\ \text{kg}

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