Um tanque contém uma solução de água salgada que consiste inicialmente em 20 kg de sal dissolvido em 10 litros de água. Água fresca está sendo derramada no tanque a uma taxa de 3 litros/min e a solução (mantida uniforme por agitação) está fluindo para fora em 2 litros/min. Encontre a quantidade de sal no tanque após 5 minutos.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
- Dados fornecidos:
- Quantidade inicial de sal:
kg. - Volume inicial de água:
litros. - Entrada: água fresca (sem sal) à taxa de
litros/min. - Saída: solução perfeitamente misturada à taxa de
litros/min.
- Quantidade inicial de sal:
- O que se pede:
- Encontrar a quantidade de sal no tanque após
minutos.
- Encontrar a quantidade de sal no tanque após
Passo 2
Definir variáveis e entender o comportamento do volume e da concentração.
- Seja
a quantidade de sal (em kg) no tanque no instante (em minutos). Queremos . - O volume do líquido no tanque varia porque entra mais líquido do que sai. Como entra
L/min e sai L/min, o volume aumenta a L/min. Assim: - A concentração de sal na solução homogênea no tempo
é Isto significa: cada litro que sai leva consigo kg de sal.
Passo 3
Montar a equação de balanço de massa (taxa de variação do sal).
- Regra geral:
- Aqui a água que entra é fresca (sem sal), então a taxa de entrada de sal é
. - A taxa de saída de sal é a vazão de saída multiplicada pela concentração no tanque:
- Portanto o balanço dá a equação diferencial:
Passo 4
Resolver a equação diferencial (método das variáveis separáveis) e explicar cada passo.
- A equação é separável: podemos escrever
- Integrando ambos os lados:
- As integrais são:
onde é a constante de integração. - Exponenciando (e tomando
porque é massa de sal), obtemos a forma geral da solução:
Passo 5
Usar a condição inicial para determinar a constante e obter a solução particular.
- Condição inicial:
. - Substituindo em
com : - Logo
- Assim a solução particular é
Passo 6
Calcular
e interpretar o resultado.
- Substituindo
em : - Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
: - Em forma decimal aproximada:
- Interpretação rápida: a massa de sal diminui porque entra água sem sal e sai solução diluída; mesmo com aumento do volume total, a fração de sal cai ao longo do tempo.