Determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações dadas que vamos usar:
- A equação é linear, de ordem 2, com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é
.
Não resolvo nada neste passo, apenas confirmei o que é pedido e que temos a equação acima.
Passo 2
Primeiro simplificamos o termo do lado direito usando identidade trigonométrica para produto de cossenos:
Aplicando com
e
obtemos
já que
. Assim a equação fica
Passo 3
Agora resolvemos a equação homogênea associada
A equação característica é
, cujas raízes são
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Para obter uma solução particular
da equação não-homogênea usamos o método dos coeficientes indeterminados. O lado direito é soma de funções trigonométricas
e
. Observação importante (ressonância): a frequência
(termo
) corresponde a soluções da homogênea (
), então o termo
é ressonante e o palpite para a solução particular deverá ser multiplicado por
. O termo
não é ressonante, então usa-se o palpite usual.
Logo tentamos
onde
trata
e
trata
.
Passo 5
Encontrando
para o termo
.
Tentativa (não ressonante):
Tentativa (não ressonante):
Calculamos a ação do operador
:
logo
Devemos ter
. Igualando coeficientes:
Portanto
Passo 6
Encontrando
para o termo
(resonante).
Devido à ressonância usamos o palpite multiplicado por :
Devido à ressonância usamos o palpite multiplicado por
Calculamos derivadas passo a passo (mostrando tudo para usar numa prova sem calculadora):
Primeiro escreva .
Derivando uma vez:
Primeiro escreva
Derivando uma vez:
Agrupando:
Derivando de novo:
a derivada de é
.
a derivada de é
.
Somando:
a derivada de
a derivada de
Somando:
Agora aplicamos
:
Repare que os termos multiplicados por
se cancelam:
Portanto sobra
Devemos ter
. Igualando coeficientes de
e
:
Assim
Passo 7
Agora somamos as partes particulares:
A solução geral é soma da homogênea com a particular: