Determine a solução geral de y^{\prime \prime}+y=\cos x \cos 2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y''+y=\cos x\cos 2x.
Informações dadas que vamos usar:
  • A equação é linear, de ordem 2, com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é \cos x\cos 2x.
    Não resolvo nada neste passo, apenas confirmei o que é pedido e que temos a equação acima.

Passo 2

Primeiro simplificamos o termo do lado direito usando identidade trigonométrica para produto de cossenos:
\cos a\cos b=\tfrac{1}{2}(\cos(a+b)+\cos(a-b)).
Aplicando com a=x e b=2x obtemos
\cos x\cos 2x=\tfrac{1}{2}\big(\cos 3x+\cos(-x)\big)=\tfrac{1}{2}\big(\cos 3x+\cos x\big),
já que \cos(-x)=\cos x. Assim a equação fica
y''+y=\tfrac{1}{2}\cos 3x+\tfrac{1}{2}\cos x.

Passo 3

Agora resolvemos a equação homogênea associada
y''+y=0.
A equação característica é r^{2}+1=0, cujas raízes são r=\pm i. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h=C_{1}\cos x+C_{2}\sin x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Para obter uma solução particular y_p da equação não-homogênea usamos o método dos coeficientes indeterminados. O lado direito é soma de funções trigonométricas \tfrac{1}{2}\cos 3x e \tfrac{1}{2}\cos x. Observação importante (ressonância): a frequência 1 (termo \cos x) corresponde a soluções da homogênea ( \cos x,\sin x), então o termo \cos x é ressonante e o palpite para a solução particular deverá ser multiplicado por x. O termo \cos 3x não é ressonante, então usa-se o palpite usual.
Logo tentamos y_p=y_{p1}+y_{p2} onde y_{p1} trata \tfrac{1}{2}\cos 3x e y_{p2} trata \tfrac{1}{2}\cos x.

Passo 5

Encontrando y_{p1} para o termo \tfrac{1}{2}\cos 3x.
Tentativa (não ressonante):
y_{p1}=C\cos 3x + D\sin 3x.
Calculamos a ação do operador L[y]=y''+y:
y_{p1}''=-9C\cos 3x -9D\sin 3x,
logo
L[y_{p1}]=y_{p1}''+y_{p1}=(-9C+C)\cos 3x+(-9D+D)\sin 3x=-8C\cos 3x-8D\sin 3x.
Devemos ter L[y_{p1}]=\tfrac{1}{2}\cos 3x. Igualando coeficientes:
-8C=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad C=-\tfrac{1}{16},
-8D=0\quad\Rightarrow\quad D=0.
Portanto
y_{p1}=-\tfrac{1}{16}\cos 3x.

Passo 6

Encontrando y_{p2} para o termo \tfrac{1}{2}\cos x (resonante).
Devido à ressonância usamos o palpite multiplicado por x:
y_{p2}=x\big(A\cos x + B\sin x\big).
Calculamos derivadas passo a passo (mostrando tudo para usar numa prova sem calculadora):
Primeiro escreva y_{p2}=A x\cos x + B x\sin x.
Derivando uma vez:
y_{p2}'=A\cos x - A x\sin x + B\sin x + B x\cos x.
Agrupando:
y_{p2}'=(A\cos x + B\sin x) + x(-A\sin x + B\cos x).
Derivando de novo:
a derivada de (A\cos x + B\sin x) é -A\sin x + B\cos x.
a derivada de x(-A\sin x + B\cos x) é (-A\sin x + B\cos x) + x(-A\cos x - B\sin x).
Somando:
y_{p2}''=2(-A\sin x + B\cos x) + x(-A\cos x - B\sin x).
Agora aplicamos L:
L[y_{p2}]=y_{p2}''+y_{p2}=2(-A\sin x + B\cos x) + x(-A\cos x - B\sin x) + x(A\cos x + B\sin x).
Repare que os termos multiplicados por x se cancelam:
x(-A\cos x - B\sin x)+x(A\cos x + B\sin x)=0.
Portanto sobra
L[y_{p2}]=2(-A\sin x + B\cos x) = -2A\sin x + 2B\cos x.
Devemos ter L[y_{p2}]=\tfrac{1}{2}\cos x. Igualando coeficientes de \cos x e \sin x:
2B=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad B=\tfrac{1}{4},
-2A=0\quad\Rightarrow\quad A=0.
Assim
y_{p2}=\tfrac{1}{4}x\sin x.

Passo 7

Agora somamos as partes particulares:
y_p=y_{p1}+y_{p2}=\tfrac{1}{4}x\sin x -\tfrac{1}{16}\cos 3x.
A solução geral é soma da homogênea com a particular:
y=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + \tfrac{1}{4}x\sin x - \tfrac{1}{16}\cos 3x.

Resposta

y=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x + \tfrac{1}{4}x\sin x - \tfrac{1}{16}\cos 3x

Exercícios relacionados