Determine a solução geral de y^{\prime \prime}+y=\operatorname{sen}^{3} x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y''+y=\operatorname{sen}^{3}x.
Informações relevantes dadas:
\text{equação linear de ordem 2, coeficientes constantes, termo forçante } \operatorname{sen}^{3}x.çãç
Queremos encontrar a solução geral y(x), ou seja, soma da solução geral da equação homogênea e de uma solução particular para o termo não-homogêneo.

Passo 2

Começamos encontrando a solução geral da equação homogênea associada. A homogênea é
y''+y=0.
Formamos a equação característica
r^2+1=0,
cujos raízes são r=\pm i. Para raízes imaginárias \pm i a solução homogênea é
y_h(x)=C_1\cos x + C_2\sin x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora vamos tratar o termo forçante \operatorname{sen}^{3}x. Usamos a identidade trigonométrica (consequência da fórmula do ângulo triplo)
\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^{3}x.
Isolando \sin^{3}x obtemos
\sin^{3}x=\frac{3\sin x - \sin 3x}{4}.
Portanto a equação original pode ser reescrita como
y''+y=\frac{3}{4}\sin x - \frac{1}{4}\sin 3x.

Passo 4

Pela linearidade, podemos buscar uma solução particular y_p como soma de soluções particulares correspondentes a cada termo:
y_p = y_{p1}+y_{p2},
onde y_{p1} resolve y''+y=\dfrac{3}{4}\sin x e y_{p2} resolve y''+y=-\dfrac{1}{4}\sin 3x.

Passo 5

Tratamos y_{p1} para a força \dfrac{3}{4}\sin x. Note que \sin x é solução da homogênea (ressonância), portanto usamos o método dos coeficientes indeterminados com fator x. Fazemos a escolha
y_{p1}(x)=x\bigl(M\cos x + N\sin x\bigr),
onde M,N são constantes a determinar. Calculamos derivadas (vou desenvolver passo a passo):
u(x)=M\cos x + N\sin x,
u'(x)=-M\sin x + N\cos x,
u''(x)=-M\cos x - N\sin x = -u(x).
Como y_{p1}=x u, temos
y_{p1}'=u + x u',
y_{p1}''=2u' + x u''.
Como u''=-u, obtemos
y_{p1}''=2u' - x u.
Agora substituímos em y''+y:
y_{p1}''+y_{p1} = (2u' - x u) + x u = 2u'.
Então
y_{p1}''+y_{p1} = 2u' = 2(-M\sin x + N\cos x) = -2M\sin x + 2N\cos x.
Queremos que isso seja igual a \dfrac{3}{4}\sin x. Igualando coeficientes de \sin x e \cos x:
-2M=\frac{3}{4}\quad\Rightarrow\quad M=-\frac{3}{8},
2N=0\quad\Rightarrow\quad N=0.
Portanto
y_{p1}(x) = -\frac{3}{8}\,x\cos x.

Passo 6

Agora tratamos y_{p2} para a força -\dfrac{1}{4}\sin 3x. A frequência 3 não é ressonante com a homogênea (que tem frequência 1), então tentamos
y_{p2}(x)=\alpha\cos 3x + \beta\sin 3x.
Calculamos
y_{p2}'' = -9\alpha\cos 3x -9\beta\sin 3x.
Logo
y_{p2}''+y_{p2} = (-9+1)\alpha\cos 3x + (-9+1)\beta\sin 3x = -8\alpha\cos 3x -8\beta\sin 3x.
Queremos que isso seja igual a -\dfrac{1}{4}\sin 3x, ou seja coeficiente de \cos 3x é zero e coeficiente de \sin 3x é -\dfrac{1}{4}. Assim
-8\alpha=0\quad\Rightarrow\quad \alpha=0,
-8\beta=-\frac{1}{4}\quad\Rightarrow\quad \beta=\frac{1}{32}.
Portanto
y_{p2}(x)=\frac{1}{32}\sin 3x.

Passo 7

Somando as partes particulares:
y_p(x)=y_{p1}(x)+y_{p2}(x) = -\frac{3}{8}x\cos x + \frac{1}{32}\sin 3x.
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1\cos x + C_2\sin x -\frac{3}{8}x\cos x + \frac{1}{32}\sin 3x.

Resposta

y(x)=C_{1}\cos x + C_{2}\sin x -\frac{3}{8}\,x\cos x + \frac{1}{32}\sin 3x

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