Determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações relevantes dadas:
Queremos encontrar a solução geral
, ou seja, soma da solução geral da equação homogênea e de uma solução particular para o termo não-homogêneo.
Passo 2
Começamos encontrando a solução geral da equação homogênea associada. A homogênea é
Formamos a equação característica
cujos raízes são
. Para raízes imaginárias
a solução homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora vamos tratar o termo forçante
. Usamos a identidade trigonométrica (consequência da fórmula do ângulo triplo)
Isolando
obtemos
Portanto a equação original pode ser reescrita como
Passo 4
Pela linearidade, podemos buscar uma solução particular
como soma de soluções particulares correspondentes a cada termo:
onde
resolve
e
resolve
.
Passo 5
Tratamos
para a força
. Note que
é solução da homogênea (ressonância), portanto usamos o método dos coeficientes indeterminados com fator
. Fazemos a escolha
onde
são constantes a determinar. Calculamos derivadas (vou desenvolver passo a passo):
Como
, temos
Como
, obtemos
Agora substituímos em
:
Então
Queremos que isso seja igual a
. Igualando coeficientes de
e
:
Portanto
Passo 6
Agora tratamos
para a força
. A frequência
não é ressonante com a homogênea (que tem frequência
), então tentamos
Calculamos
Logo
Queremos que isso seja igual a
, ou seja coeficiente de
é zero e coeficiente de
é
. Assim
Portanto
Passo 7
Somando as partes particulares:
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da homogênea com a particular: