Determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
e pede a solução geral
. Informações relevantes fornecidas:
- É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo à direita (não-homogêneo) é
. - Precisamos encontrar a solução geral, isto é, a soma da solução da equação associada homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito zero):
Substituímos a ansatz
. Isso leva à equação característica
Resolvendo a quadrática:
portanto há uma raiz dupla
.
Passo 3
Quando a equação característica tem raiz real
de multiplicidade 2, as soluções independentes da homogênea são
e
. Logo a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. (Explicação curta: precisa do fator
na segunda solução para obter duas soluções linearmente independentes quando a raiz é dupla.)
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular
para a equação completa. Como o termo forçante é
, tentamos uma forma com seno e cosseno:
onde
e
são constantes a determinar. (Justificativa: para termos forçantes senoidais, tentamos combinações de
e
. Não multiplicamos por
aqui porque
não produz ressonância com as raízes
associadas a
.)
Passo 5
Calculamos as derivadas de
:
Passo 6
Substituímos
na equação diferencial:
Agrupando os termos em
e
:
- coeficiente de
: , - coeficiente de
: .
Portanto
Queremos que isso seja igual a
, ou seja,
Passo 7
Igualando coeficientes obtemos o sistema para
:
Daí
Logo a solução particular é
Passo 8
A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
com
constantes arbitrárias. (Você pode verificar substituindo esta expressão na equação original e conferindo que o lado direito fica
.)