Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=\cos x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
y''-2y'+y=\cos x,
e pede a solução geral y(x). Informações relevantes fornecidas:
  • É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo à direita (não-homogêneo) é \cos x.
  • Precisamos encontrar a solução geral, isto é, a soma da solução da equação associada homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Vamos primeiro resolver a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito zero):
y''-2y'+y=0.
Substituímos a ansatz y=e^{rx}. Isso leva à equação característica
r^{2}-2r+1=0.
Resolvendo a quadrática:
r^{2}-2r+1=(r-1)^{2}=0,
portanto há uma raiz dupla r=1.

Passo 3

Quando a equação característica tem raiz real r=1 de multiplicidade 2, as soluções independentes da homogênea são e^{x} e x e^{x}. Logo a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. (Explicação curta: precisa do fator x na segunda solução para obter duas soluções linearmente independentes quando a raiz é dupla.)

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular y_{p} para a equação completa. Como o termo forçante é \cos x, tentamos uma forma com seno e cosseno:
y_{p}(x)=A\cos x+B\sin x,
onde A e B são constantes a determinar. (Justificativa: para termos forçantes senoidais, tentamos combinações de \cos e \sin. Não multiplicamos por x aqui porque r=1 não produz ressonância com as raízes \pm i associadas a \cos x,\sin x.)

Passo 5

Calculamos as derivadas de y_{p}:
y_{p}'(x)=-A\sin x + B\cos x,
y_{p}''(x)=-A\cos x - B\sin x.

Passo 6

Substituímos y_{p},y_{p}',y_{p}'' na equação diferencial:
y_{p}''-2y_{p}'+y_{p}=(-A\cos x - B\sin x)-2(-A\sin x + B\cos x)+(A\cos x + B\sin x).
Agrupando os termos em \cos x e \sin x:
  • coeficiente de \cos x: (-A)-2B+(A)=-2B,
  • coeficiente de \sin x: (-B)+2A+(B)=2A.
Portanto
y_{p}''-2y_{p}'+y_{p} = (-2B)\cos x + (2A)\sin x.
Queremos que isso seja igual a \cos x, ou seja,
(-2B)\cos x + (2A)\sin x = 1\cdot\cos x + 0\cdot\sin x.

Passo 7

Igualando coeficientes obtemos o sistema para A,B:
-2B=1,\qquad 2A=0.
Daí
A=0,\qquad B=-\tfrac{1}{2}.
Logo a solução particular é
y_{p}(x)=-\tfrac{1}{2}\sin x.

Passo 8

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x}-\tfrac{1}{2}\sin x,
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias. (Você pode verificar substituindo esta expressão na equação original e conferindo que o lado direito fica \cos x.)

Resposta

y(x)=\big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x}-\tfrac{1}{2}\sin x

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