Determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem, com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (forçamento) é
. - Queremos a solução geral, isto é, a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.
Passo 2
Começamos resolvendo a equação homogênea associada:
Procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos a equação característica:
Calculamos as raízes dessa quadrática.
Passo 3
Resolvendo a característica:
logo temos raiz dupla
(multiplicidade 2). Quando há raiz dupla
a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias. Explico por que: para uma raiz simples usamos
; para raiz de multiplicidade 2 multiplicamos por
o segundo modo independente, ficando
e
.
Passo 4
Agora buscamos uma solução particular
para a equação completa. Como o membro direito é
, uma escolha padrão (método dos coeficientes a determinar ou complexificação) é tentar
onde
e
são constantes a determinar. Justificativa rápida: termos do tipo
levam a um ansatz
, desde que
não seja raiz da característica (ou que seja tratado com multiplicação por potências de
). Aqui
. Verificamos que
não é raiz de
(pois ao avaliar
), então não há ressonância e o ansatz acima é válido.
Passo 5
Calculamos derivadas de
. Defina
. Então
Como
, aplicando produto:
Passo 6
Substituímos
na equação esquerda:
Agrupando os termos dentro dos colchetes:
Logo a expressão simplifica muito:
Mas lembramos que
. Então
Passo 7
Igualamos ao lado direito da equação original:
Dividindo por
(sempre positivo, não anula) obtemos
Comparando coeficientes de
e
dá o sistema
Portanto
Passo 8
Substituindo em
encontramos a particular:
Passo 9
A solução geral da equação não-homogênea é soma da homogênea com a particular:
Podemos fatorar
se quisermos: