Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{x} \cos x

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
y''-2y'+y=e^{x}\cos x.
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (forçamento) é \,e^{x}\cos x.
  • Queremos a solução geral, isto é, a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.

Passo 2

Começamos resolvendo a equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
Procuramos soluções da forma \,y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica:
r^{2}-2r+1=0.
Calculamos as raízes dessa quadrática.

Passo 3

Resolvendo a característica:
r^{2}-2r+1=(r-1)^{2}=0,
logo temos raiz dupla \,r=1 (multiplicidade 2). Quando há raiz dupla r=1 a solução geral da homogênea é
y_{h}=(C_{1}+C_{2}x)e^{x},
onde \,C_{1} e \,C_{2} são constantes arbitrárias. Explico por que: para uma raiz simples usamos e^{rx}; para raiz de multiplicidade 2 multiplicamos por x o segundo modo independente, ficando e^{rx} e x e^{rx}.

Passo 4

Agora buscamos uma solução particular y_{p} para a equação completa. Como o membro direito é \,e^{x}\cos x, uma escolha padrão (método dos coeficientes a determinar ou complexificação) é tentar
y_{p}=e^{x}\big(a\cos x+b\sin x\big),
onde a e b são constantes a determinar. Justificativa rápida: termos do tipo e^{\alpha x}\cos(\beta x) levam a um ansatz e^{\alpha x}(A\cos\beta x+B\sin\beta x), desde que r=\alpha\pm i\beta não seja raiz da característica (ou que seja tratado com multiplicação por potências de x). Aqui \alpha=1,\beta=1. Verificamos que r=1\pm i não é raiz de (r-1)^{2} (pois ao avaliar (1+i-1)^{2}=i^{2}=-1\neq0), então não há ressonância e o ansatz acima é válido.

Passo 5

Calculamos derivadas de y_{p}. Defina u(x)=a\cos x+b\sin x. Então
u'(x)=-a\sin x + b\cos x,\qquad u''(x)=-a\cos x - b\sin x = -u(x).
Como y_{p}=e^{x}u, aplicando produto:
y_{p}'=e^{x}(u+u'),\qquad y_{p}''=e^{x}(u+2u'+u'').

Passo 6

Substituímos y_{p},y_{p}',y_{p}'' na equação esquerda:
y_{p}''-2y_{p}'+y_{p} = e^{x}\big(u+2u'+u''\big)-2e^{x}\big(u+u'\big)+e^{x}u.
Agrupando os termos dentro dos colchetes:
\big(u+2u'+u''\big)-2\big(u+u'\big)+u = u+2u'+u''-2u-2u'+u = u''.
Logo a expressão simplifica muito:
y_{p}''-2y_{p}'+y_{p}=e^{x}u''.
Mas lembramos que u''=-u. Então
y_{p}''-2y_{p}'+y_{p}=e^{x}(-u)=-e^{x}\big(a\cos x+b\sin x\big).

Passo 7

Igualamos ao lado direito da equação original:
-e^{x}\big(a\cos x+b\sin x\big)=e^{x}\cos x.
Dividindo por e^{x} (sempre positivo, não anula) obtemos
-(a\cos x+b\sin x)=\cos x.
Comparando coeficientes de \cos x e \sin x dá o sistema
-a=1,\qquad -b=0.
Portanto
a=-1,\qquad b=0.

Passo 8

Substituindo em y_{p} encontramos a particular:
y_{p}=e^{x}\big(-1\cdot\cos x + 0\cdot\sin x\big)=-e^{x}\cos x.

Passo 9

A solução geral da equação não-homogênea é soma da homogênea com a particular:
y=y_{h}+y_{p}=(C_{1}+C_{2}x)e^{x}-e^{x}\cos x.
Podemos fatorar e^{x} se quisermos:
y=e^{x}\big(C_{1}+C_{2}x-\cos x\big).

Resposta

y=e^{x}\big(C_{1}+C_{2}x-\cos x\big)

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