Determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é
.
Pergunta: determinar a solução geralque satisfaça essa equação.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
Usamos a ansatz padrão
. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica:
Passo 3
Resolvendo a característica:
portanto
é raiz dupla (multiplicidade 2). Para uma raiz dupla
a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa. O termo direito é
. Como
é solução da homogênea (corresponde à raiz
) e essa raiz tem multiplicidade 2, há ressonância de ordem 2. Pela regra do método dos coeficientes determinados, multiplicamos a forma candidata por
onde
é a multiplicidade da raiz (aqui
). O termo não-homogêneo é
(polinômio de grau zero vezes
), então fazemos a tentativa simples:
com
constante a determinar.
Passo 5
Calculemos
e
de forma detalhada:
Usando produto e derivada de
:
Derivando novamente:
Passo 6
Substituímos
,
e
na equação diferencial esquerda
:
Fatorando
e simplificando os termos dentro dos parênteses:
Logo
Queremos que isso seja igual ao lado direito
. Assim
Passo 7
Portanto a solução particular encontrada é
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
Podemos factorar
se quisermos uma forma mais compacta.