Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=e^{x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial
y'' - 2y' + y = e^{x}.
Informações dadas:
  • É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é e^{x}.
    Pergunta: determinar a solução geral y(x) que satisfaça essa equação.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
y'' - 2y' + y = 0.
Usamos a ansatz padrão y=e^{rx}. Substituindo na equação homogênea obtemos a equação característica:
r^{2}-2r+1=0.

Passo 3

Resolvendo a característica:
r^{2}-2r+1=(r-1)^{2}=0,
portanto r=1 é raiz dupla (multiplicidade 2). Para uma raiz dupla r=1 a solução geral da homogênea é
y_{h}(x) = (C_{1}+C_{2}x)e^{x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora precisamos de uma solução particular y_{p} da equação completa. O termo direito é e^{x}. Como e^{x} é solução da homogênea (corresponde à raiz r=1) e essa raiz tem multiplicidade 2, há ressonância de ordem 2. Pela regra do método dos coeficientes determinados, multiplicamos a forma candidata por x^{m} onde m é a multiplicidade da raiz (aqui m=2). O termo não-homogêneo é e^{x} (polinômio de grau zero vezes e^{x}), então fazemos a tentativa simples:
y_{p}(x)=A x^{2} e^{x},
com A constante a determinar.

Passo 5

Calculemos y_{p}' e y_{p}'' de forma detalhada:
y_{p}(x)=A x^{2} e^{x}.
Usando produto e derivada de e^{x}:
y_{p}'(x)=A\big(2x e^{x} + x^{2} e^{x}\big)=A e^{x}(2x+x^{2}).
Derivando novamente:
y_{p}''(x)=A\Big(2 e^{x} + 2x e^{x} + (2x e^{x}+x^{2} e^{x})\Big)=A e^{x}(2+4x+x^{2}).

Passo 6

Substituímos y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' na equação diferencial esquerda y''-2y'+y:
y_{p}''-2y_{p}'+y_{p}=A e^{x}\big(2+4x+x^{2}\big)-2A e^{x}\big(2x+x^{2}\big)+A e^{x}x^{2}.
Fatorando A e^{x} e simplificando os termos dentro dos parênteses:
2+4x+x^{2}-4x-2x^{2}+x^{2}=2.
Logo
y_{p}''-2y_{p}'+y_{p}=A e^{x}\cdot 2 = 2A e^{x}.
Queremos que isso seja igual ao lado direito e^{x}. Assim
2A e^{x}=e^{x}\quad\Rightarrow\quad 2A=1\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{2}.

Passo 7

Portanto a solução particular encontrada é
y_{p}(x)=\tfrac{1}{2}x^{2}e^{x}.
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{x}+\tfrac{1}{2}x^{2}e^{x}.
Podemos factorar e^{x} se quisermos uma forma mais compacta.

Resposta

y(x)=e^{x}\!\left(C_{1}+C_{2}x+\tfrac{1}{2}x^{2}\right)

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