Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x e^{x} \cos x

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
y''-2y'+y = x e^{x}\cos x.
Informações dadas:
  • A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes;
  • O termo não-homogêneo (forçamento) é x e^{x}\cos x.
    Pergunta a responder: encontrar a solução geral y(x) (ou seja, solução complementar + uma particular).

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
Procuramos soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo obtemos o polinômio característico
r^2-2r+1=0.
Calculando as raízes:
r^2-2r+1=(r-1)^2=0\quad\Rightarrow\quad r=1\text{ (raiz dupla)}.
Quando temos uma raiz real r de multiplicidade 2, as soluções independentes são e^{rx} e x e^{rx}. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x) = \big(C_1 + C_2 x\big)e^{x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Escolher um método para encontrar uma solução particular. Como o lado direito é x e^{x}\cos x, é conveniente usar o método dos coeficientes a determinar com a técnica de complexificação: escrever
x e^{x}\cos x = \Re\{x e^{(1+i)x}\},
onde \Re\{\cdot\} indica a parte real. Definimos o operador linear
L(D)=D^2-2D+1=(D-1)^2,
onde D significa derivada em relação a x. Uma propriedade útil é
L(D)\big[e^{ax}u(x)\big] = e^{ax} L(D+a)\big[u(x)\big].
Aqui vamos tomar a=1+i, porque o termo complexo é e^{(1+i)x}. O objetivo é achar uma função complexa U(x) tal que
L(D)\big[e^{(1+i)x}U(x)\big] = e^{(1+i)x} x.
Isto equivale a resolver a equação para U:
L(D+a)\big[U\big] = x \quad\text{com } a=1+i.
Como L(D)=(D-1)^2, temos L(D+a)=(D+a-1)^2=(D+i)^2. Logo devemos resolver
(D+i)^2 U(x) = x.

Passo 4

Escolher a forma de U(x). O lado direito é um polinômio de grau 1 (o x), então tentamos U como um polinômio de grau 1 com coeficientes complexos:
U(x)=A x + B,
onde A,B\in\mathbb{C}. Vamos calcular (D+i)^2 U passo a passo.
Primeiro:
(D+i)U = U' + i U = A + i(Ax+B) = iA x + (A + iB).
Agora aplicamos (D+i) novamente:
  • derivada de iA x + (A + iB) é iA;
  • somando i vezes a própria função: i\big(iA x + (A + iB)\big)=i^2 A x + i(A + iB) = -A x + iA - B.
    Somando as duas partes:
(D+i)^2 U = iA + \big(-A x + iA - B\big) = -A x + (2iA - B).
Então devemos ter
- A x + (2iA - B) = x.
Comparando coeficientes de polinômio em x:
  • coeficiente de x: -A = 1 \Rightarrow A = -1;
  • termo constante: 2iA - B = 0 \Rightarrow 2i(-1) - B = 0 \Rightarrow B = -2i.
Portanto
U(x) = -x - 2i.

Passo 5

Construir a solução particular complexa:
Y(x) = e^{(1+i)x} U(x) = e^{(1+i)x}(-x - 2i).
A solução particular real que precisamos é a parte real de Y(x). Escrevemos e^{(1+i)x}=e^{x}(\cos x + i\sin x) e multiplicamos:
Y = e^{x}(\cos x + i\sin x)\,(-x - 2i).
Fazendo a multiplicação passo a passo:
(-x - 2i)(\cos x + i\sin x) = -x\cos x - i x\sin x -2i\cos x -2i^2\sin x.
Como i^2=-1, isso vira
= -x\cos x - i x\sin x -2i\cos x + 2\sin x.
A parte real é, portanto,
\Re\{Y\} = e^{x}\big(-x\cos x + 2\sin x\big).
Assim uma solução particular real é
y_p(x) = e^{x}\big(-x\cos x + 2\sin x\big).

Passo 6

Juntar solução homogênea e particular. A solução geral da equação original é
y(x)=y_h(x)+y_p(x) = \big(C_1 + C_2 x\big)e^{x} + e^{x}\big(-x\cos x + 2\sin x\big).
Podemos fatorar e^{x} se quisermos:
y(x)=e^{x}\Big(C_1 + C_2 x - x\cos x + 2\sin x\Big),
com C_1,C_2 constantes reais arbitrárias.

Resposta

y(x)=\big(C_1 + C_2 x\big)e^{x} + e^{x}\big(-x\cos x + 2\sin x\big)

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