Determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
Informações dadas:
- A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes;
- O termo não-homogêneo (forçamento) é
.
Pergunta a responder: encontrar a solução geral(ou seja, solução complementar + uma particular).
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada:
Procuramos soluções do tipo
. Substituindo obtemos o polinômio característico
Calculando as raízes:
Quando temos uma raiz real
de multiplicidade 2, as soluções independentes são
e
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Escolher um método para encontrar uma solução particular. Como o lado direito é
, é conveniente usar o método dos coeficientes a determinar com a técnica de complexificação: escrever
onde
indica a parte real. Definimos o operador linear
onde
significa derivada em relação a
. Uma propriedade útil é
Aqui vamos tomar
, porque o termo complexo é
. O objetivo é achar uma função complexa
tal que
Isto equivale a resolver a equação para
:
Como
, temos
. Logo devemos resolver
Passo 4
Escolher a forma de
. O lado direito é um polinômio de grau
(o
), então tentamos
como um polinômio de grau
com coeficientes complexos:
onde
. Vamos calcular
passo a passo.
Primeiro:
Agora aplicamos
novamente:
- derivada de
é ; - somando
vezes a própria função: .
Somando as duas partes:
Então devemos ter
Comparando coeficientes de polinômio em
:
- coeficiente de
: ; - termo constante:
.
Portanto
Passo 5
Construir a solução particular complexa:
A solução particular real que precisamos é a parte real de
. Escrevemos
e multiplicamos:
Fazendo a multiplicação passo a passo:
Como
, isso vira
A parte real é, portanto,
Assim uma solução particular real é
Passo 6
Juntar solução homogênea e particular. A solução geral da equação original é
Podemos fatorar
se quisermos:
com
constantes reais arbitrárias.