Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x^{2} e^{x} \cos x
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
y''-2y'+y = x^{2} e^{x}\cos x.
Informações relevantes dadas:
É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
O termo não homogêneo é x^{2} e^{x}\cos x, que é produto de um polinômio (x^{2}), de uma exponencial (e^{x}) e de um cosseno (\cos x).
Queremos a solução geral, ou seja, soma da solução complementar (homogênea) e de uma particular.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
A equação característica é
r^{2}-2r+1=0.
Resolvendo-a:
(r-1)^{2}=0,
portanto a raiz r=1 é dupla. Isso implica que a solução complementar tem a forma
y_{c}=(C_{1}+C_{2}x)e^{x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para obter uma solução particular escolhemos o método dos coeficientes a determinar usando complexificação (é prático quando aparece \cos ou \sin). Observação e escolha do ensaio:
O lado direito pode ser visto como a parte real de x^{2}e^{x}e^{ix}=x^{2}e^{(1+i)x}.
Definimos o operador diferencial L(D)=D^{2}-2D+1=(D-1)^{2}, onde D=\dfrac{d}{dx}.
Vamos buscar uma solução complexa y_{p}^{\text{(c)}} que satisfaça L[y]=x^{2}e^{(1+i)x} e depois tomar a parte real.
Como a função multiplicadora é e^{(1+i)x} e 1+i NÃO é raiz do polinômio característico (verificação: (1+i)^{2}-2(1+i)+1=-1\neq0), não há ressonância e podemos tentar
y_{p}^{\text{(c)}}=e^{(1+i)x}u(x),
com u(x) polinômio de grau 2: u(x)=Ax^{2}+Bx+C.
Passo 4
Agora calculamos L[y_{p}^{\text{(c)}}]. Primeiro note que, para qualquer função u,