Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x^{2} e^{x} \cos x

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
y''-2y'+y = x^{2} e^{x}\cos x.
Informações relevantes dadas:
  • É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não homogêneo é x^{2} e^{x}\cos x, que é produto de um polinômio ( x^{2}), de uma exponencial ( e^{x}) e de um cosseno ( \cos x).
  • Queremos a solução geral, ou seja, soma da solução complementar (homogênea) e de uma particular.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
A equação característica é
r^{2}-2r+1=0.
Resolvendo-a:
(r-1)^{2}=0,
portanto a raiz r=1 é dupla. Isso implica que a solução complementar tem a forma
y_{c}=(C_{1}+C_{2}x)e^{x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para obter uma solução particular escolhemos o método dos coeficientes a determinar usando complexificação (é prático quando aparece \cos ou \sin). Observação e escolha do ensaio:
  • O lado direito pode ser visto como a parte real de x^{2}e^{x}e^{ix}=x^{2}e^{(1+i)x}.
  • Definimos o operador diferencial L(D)=D^{2}-2D+1=(D-1)^{2}, onde D=\dfrac{d}{dx}.
  • Vamos buscar uma solução complexa y_{p}^{\text{(c)}} que satisfaça L[y]=x^{2}e^{(1+i)x} e depois tomar a parte real.
  • Como a função multiplicadora é e^{(1+i)x} e 1+i NÃO é raiz do polinômio característico (verificação: (1+i)^{2}-2(1+i)+1=-1\neq0), não há ressonância e podemos tentar
y_{p}^{\text{(c)}}=e^{(1+i)x}u(x),
com u(x) polinômio de grau 2: u(x)=Ax^{2}+Bx+C.

Passo 4

Agora calculamos L[y_{p}^{\text{(c)}}]. Primeiro note que, para qualquer função u,
(D-1)\big(e^{(1+i)x}u\big)=e^{(1+i)x}\big(iu+u'\big),
porque D(e^{(1+i)x}u)=e^{(1+i)x}((1+i)u+u') e então subtrair 1 dá o fator i u+u'. Aplicando (D-1) duas vezes:
L[y_{p}^{\text{(c)}}]=(D-1)^{2}\big(e^{(1+i)x}u\big)=e^{(1+i)x}\big(u''+2i u'-u\big).
Queremos que isso seja igual a x^{2}e^{(1+i)x}. Portanto u deve satisfazer a equação polinomial
u''+2i u' - u = x^{2}.

Passo 5

Substituímos u(x)=Ax^{2}+Bx+C. Então
u'(x)=2Ax+B,\qquad u''(x)=2A.
Calculemos u''+2i u' - u:
u''+2i u' - u = 2A + 2i(2Ax+B) - (Ax^{2}+Bx+C).
Organizando por potências de x:
  • coeficiente de x^{2}: -A,
  • coeficiente de x: 4iA - B,
  • termo constante: 2A + 2iB - C.
Comparando com o lado direito x^{2} (ou seja, coeficiente de x^{2} igual a 1, demais coeficientes zero), obtemos o sistema:
\begin{cases} -A = 1,\\[4pt] 4iA - B = 0,\\[4pt] 2A + 2iB - C = 0. \end{cases}
Resolvendo:
A=-1,
então
B=4iA = 4i(-1) = -4i,
e
C = 2A + 2iB = 2(-1) + 2i(-4i) = -2 + 2\cdot(-4i^{2}) = -2 + 2\cdot(-4(-1)) = -2 + 8 = 6.
Logo
u(x) = -x^{2} -4i x + 6.]

Passo 6

A solução particular complexa é
y_{p}^{\text{(c)}} = e^{(1+i)x}\big(-x^{2}-4i x +6\big).
Queremos a parte real. Escrevemos e^{(1+i)x}=e^{x}(\cos x + i\sin x) e separamos u(x)=\alpha(x)+i\beta(x) com
\alpha(x)=-x^{2}+6,\qquad \beta(x)=-4x.
O produto tem parte real
\Re\big[(\alpha+i\beta)(\cos x + i\sin x)\big]=\alpha\cos x - \beta\sin x.
Portanto a solução particular real é
y_{p}=e^{x}\big(( -x^{2}+6)\cos x -(-4x)\sin x\big) = e^{x}\big((-x^{2}+6)\cos x + 4x\sin x\big).

Passo 7

A solução geral é a soma da complementar com a particular:
y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x).
Substituindo y_{c} e y_{p}:
y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{x} + e^{x}\big((-x^{2}+6)\cos x + 4x\sin x\big).
Podemos fatorar e^{x} se quisermos:
y(x)=e^{x}\Big(C_{1}+C_{2}x + (-x^{2}+6)\cos x + 4x\sin x\Big).

Resposta

y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{x} + e^{x}\big((-x^{2}+6)\cos x + 4x\sin x\big).

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