Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x^{2} e^{x} \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear não homogenea de segunda ordem
y''-2y'+y = x^{2} e^{x}\operatorname{sen}x,
onde \operatorname{sen}x é o seno de x. A pergunta é: determinar a solução geral y(x) dessa equação. Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • A equação é linear com coeficientes constantes.
  • O termo do lado direito é x^{2} e^{x}\sin x.
  • Não há condições iniciais; queremos a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Decidimos usar o método de superposição: escrever a solução geral como soma da solução geral da homogênea (solução complementar) y_h e de uma solução particular y_p. Primeiro vamos achar y_h, depois procuraremos y_p. Vou mostrar um atalho muito útil para problemas com fatores exponenciais: ao tentar uma forma y=e^{x}U(x) o operador D^2-2D+1 simplifica bastante — vou explicar isso passo a passo.

Passo 3

Encontrar a solução da equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
A equação característica é
r^{2}-2r+1=0\quad\Rightarrow\quad (r-1)^{2}=0,
ou seja, raiz dupla r=1. Portanto a solução geral da homogênea é
y_h = (C_{1}+C_{2}x)e^{x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Procurar uma solução particular. Pela presença do fator e^{x} no lado direito, é conveniente tentar
y(x)=e^{x}U(x).
Vou calcular y',y'' em termos de U e suas derivadas e ver como o operador age:
y' = e^{x}U + e^{x}U' = e^{x}(U+U'),
y'' = e^{x}(U+U') + e^{x}(U'+U'') = e^{x}(U+2U'+U'').
Agora substituo em y''-2y'+y:
y''-2y'+y = e^{x}\bigl(U+2U'+U''\bigr) -2e^{x}\bigl(U+U'\bigr) + e^{x}U.
Agrupando os termos dentro do colchete:
U+2U'+U'' -2U -2U' + U = U''.
Logo obtemos a simplificação espetacular
y''-2y'+y = e^{x}U''.
Isso equivale à propriedade operacional L(D)[e^{x}U]=e^{x}L(D+1)[U] com L(D)=(D-1)^{2}, que aqui dá L(D+1)=D^{2}.
Portanto a equação original reduz-se a
e^{x}U'' = x^{2} e^{x}\sin x \quad\Longrightarrow\quad U''(x)=x^{2}\sin x.
Agora basta achar uma função U cuja segunda derivada seja x^{2}\sin x. Observe que qualquer solução de U''=0 (ou seja, qualquer polinômio linear) geraria, através de y=e^{x}U, soluções da homogênea; por isso ao construir uma particular para U podemos desprezar termos lineares que correspondem ao complemento.

Passo 5

Resolver U''(x)=x^{2}\sin x por integração duas vezes. Primeiro calcule a primitiva de x^{2}\sin x.
Integração por partes para \displaystyle \int x^{2}\sin x\,dx:
  • Seja u=x^{2}, dv=\sin x\,dx. Então du=2x\,dx, v=-\cos x.
\int x^{2}\sin x\,dx = -x^{2}\cos x + \int 2x\cos x\,dx.
Agora \displaystyle \int 2x\cos x\,dx = 2\int x\cos x\,dx. Integração por partes de \int x\cos x\,dx:
  • Seja u=x, dv=\cos x\,dx. Então du=dx, v=\sin x.
\int x\cos x\,dx = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x.
Portanto
\int x^{2}\sin x\,dx = -x^{2}\cos x + 2\bigl(x\sin x + \cos x\bigr) + C.
Ou seja
\int x^{2}\sin x\,dx = -x^{2}\cos x +2x\sin x +2\cos x + C.
Agora integramos mais uma vez para obter U. Integramos termo a termo
U(x)=\int\bigl(-x^{2}\cos x +2x\sin x +2\cos x + C\bigr)\,dx.
Calcule cada integral:
  • \displaystyle \int -x^{2}\cos x\,dx. Usando partes (ou tabelas), obtemos
\int -x^{2}\cos x\,dx = -x^{2}\sin x -2x\cos x +2\sin x + C_1.
(Verificação rápida: derivando dá -x^{2}\cos x.)
  • \displaystyle \int 2x\sin x\,dx = -2x\cos x +2\sin x + C_2.
  • \displaystyle \int 2\cos x\,dx = 2\sin x + C_3.
  • \displaystyle \int C\,dx = Cx + C_4.
Somando e agrupando (e recolhendo constantes de integração numa polinômio linear Ax+B que corresponde ao núcleo de D^{2}):
U(x) = -x^{2}\sin x -4x\cos x +6\sin x + Ax + B.
Como mencionei antes, os termos Ax+B são solução geral da homogênea U''=0 e correspondem a soluções homogêneas de y quando multiplicados por e^{x}. Para obter uma solução particular de y podemos tomar A=B=0. Assim uma escolha explícita de solução particular para U é
U_{p}(x) = -x^{2}\sin x -4x\cos x +6\sin x.
(Confirmei que ao derivar duas vezes U_{p}''(x)=x^{2}\sin x.)

Passo 6

Construir a solução particular y_{p} a partir de y=e^{x}U:
y_{p}(x) = e^{x}U_{p}(x) = e^{x}\bigl((-x^{2}+6)\sin x -4x\cos x\bigr).
Finalmente a solução geral é a soma do complemento e da particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)= (C_{1}+C_{2}x)e^{x} + e^{x}\bigl((-x^{2}+6)\sin x -4x\cos x\bigr).
Podemos factorar e^{x} se quisermos.

Resposta

y(x)=e^{x}\Bigl(C_{1}+C_{2}x +(-x^{2}+6)\sin x -4x\cos x\Bigr)

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