Determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear não homogenea de segunda ordem
onde
é o seno de
. A pergunta é: determinar a solução geral
dessa equação. Informações relevantes que já temos do enunciado:
- A equação é linear com coeficientes constantes.
- O termo do lado direito é
. - Não há condições iniciais; queremos a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Decidimos usar o método de superposição: escrever a solução geral como soma da solução geral da homogênea (solução complementar)
e de uma solução particular
. Primeiro vamos achar
, depois procuraremos
. Vou mostrar um atalho muito útil para problemas com fatores exponenciais: ao tentar uma forma
o operador
simplifica bastante — vou explicar isso passo a passo.
Passo 3
Encontrar a solução da equação homogênea associada:
A equação característica é
ou seja, raiz dupla
. Portanto a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Procurar uma solução particular. Pela presença do fator
no lado direito, é conveniente tentar
Vou calcular
em termos de
e suas derivadas e ver como o operador age:
Agora substituo em
:
Agrupando os termos dentro do colchete:
Logo obtemos a simplificação espetacular
Isso equivale à propriedade operacional
com
, que aqui dá
.
Portanto a equação original reduz-se a
Agora basta achar uma função
cuja segunda derivada seja
. Observe que qualquer solução de
(ou seja, qualquer polinômio linear) geraria, através de
, soluções da homogênea; por isso ao construir uma particular para
podemos desprezar termos lineares que correspondem ao complemento.
Passo 5
Resolver
por integração duas vezes. Primeiro calcule a primitiva de
.
Integração por partes para
:
- Seja
, . Então , .
Agora
. Integração por partes de
:
- Seja
, . Então , .
Portanto
Ou seja
Agora integramos mais uma vez para obter
. Integramos termo a termo
Calcule cada integral:
-
. Usando partes (ou tabelas), obtemos
(Verificação rápida: derivando dá
.)
Somando e agrupando (e recolhendo constantes de integração numa polinômio linear
que corresponde ao núcleo de
):
Como mencionei antes, os termos
são solução geral da homogênea
e correspondem a soluções homogêneas de
quando multiplicados por
. Para obter uma solução particular de
podemos tomar
. Assim uma escolha explícita de solução particular para
é
(Confirmei que ao derivar duas vezes
.)
Passo 6
Construir a solução particular
a partir de
:
Finalmente a solução geral é a soma do complemento e da particular:
Podemos factorar
se quisermos.