Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x^{3} e^{x} \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária de segunda ordem não-homogênea
y''-2y'+y = x^{3}e^{x}\operatorname{sen}x.
Informações dadas (resumindo o que aparece no enunciado):
  • A equação diferencial linear com coeficientes constantes é \;y''-2y'+y=\text{(lado direito)}.
  • O lado direito é x^{3} e^{x}\sin x.
  • Queremos a solução geral, isto é, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Encontremos primeiro a solução geral da equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
Formamos a equação característica
r^{2}-2r+1=0,
que é (r-1)^{2}=0. Portanto r=1 é raiz dupla. A solução geral da homogênea é então
y_{h}(x) = (C_{1}+C_{2}x)e^{x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular y_{p} da não-homogênea. Como o lado direito é x^{3}e^{x}\sin x, é conveniente usar o método dos números complexos: escrever \sin x como a parte imaginária de e^{ix}. Definimos a função complexa
\tilde{f}(x)=x^{3}e^{(1+i)x},
de modo que \Im(\tilde{f}(x))=x^{3}e^{x}\sin x. Se encontrarmos uma solução complexa \tilde{y}_{p} de
y''-2y'+y=\tilde{f}(x),
então a parte imaginária \Im(\tilde{y}_{p}) será uma solução particular real da equação original. Isto é válido porque o operador é linear com coeficientes reais.

Passo 4

Trabalhamos com o operador L=(D-1)^{2}, onde D=\dfrac{d}{dx}. Tentamos uma solução do tipo
\tilde{y}_{p}(x)=e^{(1+i)x}u(x).
Aplicando o operador:
L[\tilde{y}_{p}]=(D-1)^{2}\big(e^{(1+i)x}u\big) = e^{(1+i)x}(D+i)^{2}u,
pois quando D atua em e^{(1+i)x}u efetivamente se transfere para u como D+(1+i)-1 = D+i. A equação complexa passa a ser
e^{(1+i)x}(D+i)^{2}u = x^{3}e^{(1+i)x}.
Cancelando e^{(1+i)x} obtemos a equação para u:
(D+i)^{2}u = x^{3}.

Passo 5

Resolvemos (D+i)^{2}u=x^{3} por redução de ordem: seja v=(D+i)u = u'+i u. Então
(D+i)v = x^{3},
isto é
v' + i v = x^{3}.
Isto é uma equação linear de primeira ordem. Usamos fator integrante e^{i x}:
\big(e^{i x} v\big)' = x^{3} e^{i x}.
Integramos:
e^{i x} v = \int x^{3} e^{i x}\,dx + C.
Para a construção de uma solução particular podemos tomar C=0. Precisamos então calcular
I_{3}=\int x^{3} e^{i x}\,dx.
Fazemos integrações por partes repetidas (definimos I_{1},I_{2} análogos):
  • I_{1}=\int x e^{i x}\,dx = e^{i x}\big(\dfrac{x}{i}+1\big)+C.
  • I_{2}=\int x^{2} e^{i x}\,dx = e^{i x}\big(\dfrac{x^{2}}{i}+2x-\dfrac{2}{i}\big)+C.
  • I_{3}=\int x^{3} e^{i x}\,dx = e^{i x}\big(\dfrac{x^{3}}{i}+3x^{2}-\dfrac{6x}{i}-6\big)+C.
Tomando a primitiva particular (constante C=0) temos
e^{i x} v = I_{3} = e^{i x}\Big(\dfrac{x^{3}}{i}+3x^{2}-\dfrac{6x}{i}-6\Big).
Logo
v(x)=\dfrac{x^{3}}{i}+3x^{2}-\dfrac{6x}{i}-6.
Podemos reescrever usando 1/i=-i se quiser, mas vamos manter a forma que facilita passos seguintes:
v(x)=\frac{x^{3}-6x}{i}+3x^{2}-6.

Passo 6

Agora resolvemos u'+i u = v(x). Novamente é uma equação linear de primeira ordem com fator integrante e^{i x}:
\big(e^{i x} u\big)' = e^{i x} v(x).
Integramos:
e^{i x} u = \int e^{i x} v(x)\,dx + C.
Para a particular tomamos C=0. Calculamos J=\int e^{i x} v(x)\,dx. Como v é combinação de polinômios vezes constantes e já temos I_{1},I_{2},I_{3}, fazemos a combinação:
v(x)=3x^{2}-6 + \frac{1}{i}\big(x^{3}-6x\big),
portanto
J = 3I_{2} -6\int e^{i x}dx + \frac{1}{i}\big(I_{3} -6I_{1}\big).
Substituindo as expressões de I_{1},I_{2},I_{3} e simplificando (álgebra direta), obtemos
J = e^{i x}\Big(-x^{3} + \frac{6x^{2}}{i} + 18x -\frac{24}{i}\Big).
Logo
u(x)=e^{-i x} J = -x^{3} + \frac{6x^{2}}{i} + 18x -\frac{24}{i}.
Usando 1/i=-i podemos escrever a decomposição real/ímag:
u(x)=\big(-x^{3}+18x\big) + i\big(-6x^{2}+24\big).

Passo 7

Voltamos à solução complexa particular
\tilde{y}_{p}(x) = e^{(1+i)x}u(x) = e^{x}\,e^{i x}\big(A(x)+ i B(x)\big),
onde tomamos
A(x) = -x^{3}+18x,\qquad B(x) = -6x^{2}+24.
Multiplicando e^{i x}(A+iB) = (A\cos x - B\sin x) + i(A\sin x + B\cos x). Como o lado direito original é a parte imaginária de \tilde{f}, a parte imaginária de \tilde{y}_{p} é a solução particular real desejada. Assim
y_{p}(x) = e^{x}\big(A(x)\sin x + B(x)\cos x\big).
Substituindo A,B obtemos
y_{p}(x) = e^{x}\Big(\big(-x^{3}+18x\big)\sin x + \big(-6x^{2}+24\big)\cos x\Big).
Podemos reescrever com sinais rearranjados:
y_{p}(x)=e^{x}\Big((18x-x^{3})\sin x + (24-6x^{2})\cos x\Big).

Passo 8

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x) = (C_{1}+C_{2}x)e^{x} + e^{x}\Big((18x-x^{3})\sin x + (24-6x^{2})\cos x\Big).
Podemos factorar e^{x} se quisermos:
y(x)=e^{x}\left(C_{1}+C_{2}x + (18x-x^{3})\sin x + (24-6x^{2})\cos x\right).

Resposta

y(x)=e^{x}\left(C_{1}+C_{2}x + (18x-x^{3})\sin x + (24-6x^{2})\cos x\right).

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