Determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial ordinária de segunda ordem não-homogênea
Informações dadas (resumindo o que aparece no enunciado):
- A equação diferencial linear com coeficientes constantes é
. - O lado direito é
. - Queremos a solução geral, isto é, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.
Passo 2
Encontremos primeiro a solução geral da equação homogênea associada:
Formamos a equação característica
que é
. Portanto
é raiz dupla. A solução geral da homogênea é então
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular
da não-homogênea. Como o lado direito é
, é conveniente usar o método dos números complexos: escrever
como a parte imaginária de
. Definimos a função complexa
de modo que
. Se encontrarmos uma solução complexa
de
então a parte imaginária
será uma solução particular real da equação original. Isto é válido porque o operador é linear com coeficientes reais.
Passo 4
Trabalhamos com o operador
, onde
. Tentamos uma solução do tipo
Aplicando o operador:
pois quando
atua em
efetivamente se transfere para
como
. A equação complexa passa a ser
Cancelando
obtemos a equação para
:
Passo 5
Resolvemos
por redução de ordem: seja
. Então
isto é
Isto é uma equação linear de primeira ordem. Usamos fator integrante
:
Integramos:
Para a construção de uma solução particular podemos tomar
. Precisamos então calcular
Fazemos integrações por partes repetidas (definimos
análogos):
-
. -
. -
.
Tomando a primitiva particular (constante
) temos
Logo
Podemos reescrever usando
se quiser, mas vamos manter a forma que facilita passos seguintes:
Passo 6
Agora resolvemos
. Novamente é uma equação linear de primeira ordem com fator integrante
:
Integramos:
Para a particular tomamos
. Calculamos
. Como
é combinação de polinômios vezes constantes e já temos
, fazemos a combinação:
portanto
Substituindo as expressões de
e simplificando (álgebra direta), obtemos
Logo
Usando
podemos escrever a decomposição real/ímag:
Passo 7
Voltamos à solução complexa particular
onde tomamos
Multiplicando
. Como o lado direito original é a parte imaginária de
, a parte imaginária de
é a solução particular real desejada. Assim
Substituindo
obtemos
Podemos reescrever com sinais rearranjados:
Passo 8
A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:
Podemos factorar
se quisermos: