Determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes:
Informações relevantes fornecidas:
- Equação linear com operador diferencial constante
. - Termo não homogêneo (forçamento) é
. - Precisamos achar a solução geral
, onde é a solução geral da homogênea e é uma particular que satisfaz a equação completa.
Passo 2
Primeiro resolvemos a homogênea associada:
A equação característica é
Resolvendo:
ou seja há uma raiz dupla
de multiplicidade 2. Então a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
para
É conveniente usar o método de funções complexas (método do exponencial complexo). Note que
onde
indica a parte real e
é a unidade imaginária. Se conseguirmos uma solução complexa
de
então a parte real de
será uma solução particular real para o forçamento original. Assim vamos procurar
com
uma função a determinar (ainda pode ser polinomial).
Passo 4
Aplicamos o operador
(onde
) a
. Ao deslocar o operador por exponencial, temos a propriedade
logo
Portanto a equação complexa
é equivalente a
e podemos cancelar
(não é zero), obtendo a equação para
:
Passo 5
Expandimos
. Para qualquer função
,
pois
. Assim precisamos resolver
Como o lado direito é um polinômio de grau
, faz sentido procurar
como um polinômio de grau
:
com coeficientes
possivelmente complexos.
Passo 6
Calculemos
e
em termos dos coeficientes:
Substituindo em
e igualando coeficientes para cada potência
(com
) obtemos a recorrência
onde
e
para
. Lembrando que
(não existem termos além de grau 8). Vamos resolver de
descendo até
.
Passo 7
Determinação dos coeficientes passo a passo:
- Para
:
- Para
:
Substituindo
,
- Para
:
Substituindo
e
:
- Para
:
Substituindo:
- Para
:
logo
- Para
:
então
- Para
:
portanto
- Para
:
logo
- Para
:
então
Assim os coeficientes
(complexos) são:
Passo 8
Escrevemos
como
com
polinômios reais (extraindo parte real e imaginária dos
). Assim:
A solução complexa encontrada foi
. A solução particular real que buscamos é a parte real de
:
Calculando a parte real de
:
Portanto
Passo 9
Agora juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral:
Podemos fatorar
:
onde
e
são os polinômios dados no Passo 8.