Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x^{8} e^{x} \cos x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes:
y''-2y'+y = x^{8} e^{x}\cos x.
Informações relevantes fornecidas:
  • Equação linear com operador diferencial constante L[y]=y''-2y'+y.
  • Termo não homogêneo (forçamento) é f(x)=x^{8}e^{x}\cos x.
  • Precisamos achar a solução geral y(x)=y_c(x)+y_p(x), onde y_c é a solução geral da homogênea e y_p é uma particular que satisfaz a equação completa.

Passo 2

Primeiro resolvemos a homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
A equação característica é
r^{2}-2r+1=0.
Resolvendo:
(r-1)^{2}=0,
ou seja há uma raiz dupla r=1 de multiplicidade 2. Então a solução geral da homogênea é
y_c(x) = \big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p para
y''-2y'+y = x^{8} e^{x}\cos x.
É conveniente usar o método de funções complexas (método do exponencial complexo). Note que
x^{8}e^{x}\cos x = \Re\big\{x^{8}e^{(1+i)x}\big\},
onde \Re\{\cdot\} indica a parte real e i é a unidade imaginária. Se conseguirmos uma solução complexa z(x) de
y''-2y'+y = x^{8} e^{(1+i)x},
então a parte real de z(x) será uma solução particular real para o forçamento original. Assim vamos procurar z(x)=e^{(1+i)x}u(x) com u(x) uma função a determinar (ainda pode ser polinomial).

Passo 4

Aplicamos o operador L=(D-1)^2 (onde D=\dfrac{d}{dx}) a z(x)=e^{(1+i)x}u(x). Ao deslocar o operador por exponencial, temos a propriedade
D\big(e^{(1+i)x}u\big)=e^{(1+i)x}(D+1+i)u,
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L\big(e^{(1+i)x}u\big) = e^{(1+i)x}(D+1+i-1)^{2}u = e^{(1+i)x}(D+i)^{2}u.
Portanto a equação complexa
L[z]=x^{8}e^{(1+i)x}
é equivalente a
e^{(1+i)x}(D+i)^{2}u(x) = x^{8}e^{(1+i)x},
e podemos cancelar e^{(1+i)x)} (não é zero), obtendo a equação para u:
(D+i)^{2}u = x^{8}.

Passo 5

Expandimos (D+i)^{2}. Para qualquer função u,
(D+i)u = u' + i u,
(D+i)^{2}u = (u' + i u)' + i(u' + i u) = u'' + 2i u' - u,
pois i^{2}=-1. Assim precisamos resolver
u'' + 2i u' - u = x^{8}.
Como o lado direito é um polinômio de grau 8, faz sentido procurar u(x) como um polinômio de grau 8:
u(x)=\sum_{k=0}^{8} a_{k}x^{k},
com coeficientes a_{k} possivelmente complexos.

Passo 6

Calculemos u' e u'' em termos dos coeficientes:
u'(x)=\sum_{k=1}^{8} k a_{k} x^{k-1},\qquad u''(x)=\sum_{k=2}^{8} k(k-1) a_{k} x^{k-2}.
Substituindo em u''+2i u' - u = x^{8} e igualando coeficientes para cada potência x^{m} (com m=0,1,\dots,8) obtemos a recorrência
(m+2)(m+1)a_{m+2} + 2i (m+1)a_{m+1} - a_{m} = b_{m},
onde b_{8}=1 e b_{m}=0 para m=0,1,\dots,7. Lembrando que a_{9}=a_{10}=0 (não existem termos além de grau 8). Vamos resolver de m=8 descendo até m=0.

Passo 7

Determinação dos coeficientes passo a passo:
  • Para m=8:
- a_{8} = 1 \quad\Rightarrow\quad a_{8} = -1.
  • Para m=7:
2\cdot 9 a_{9} + 2i\cdot 8 a_{8} - a_{7} = 0 \implies 16 i a_{8} - a_{7}=0.
Substituindo a_{8}=-1,
a_{7} = 16 i(-1) = -16 i.
  • Para m=6:
(8\cdot7)a_{8} + 2i\cdot7 a_{7} - a_{6} =0 \implies 56 a_{8} +14 i a_{7} - a_{6}=0.
Substituindo a_{8}=-1 e a_{7}=-16 i:
a_{6} = 56(-1) +14 i(-16 i) = -56 +14\cdot(-16)\cdot i^{2} = -56 +224 = 168.
  • Para m=5:
(7\cdot6)a_{7} +2i\cdot6 a_{6} - a_{5}=0 \implies 42 a_{7} +12 i a_{6} - a_{5}=0.
Substituindo:
a_{5} = 42(-16 i) +12 i(168) = -672 i +2016 i = 1344 i.
  • Para m=4:
(6\cdot5)a_{6} +2i\cdot5 a_{5} - a_{4}=0 \implies 30 a_{6} +10 i a_{5} - a_{4}=0,
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a_{4} = 30\cdot168 +10 i(1344 i) =5040 +10\cdot1344\cdot i^{2} =5040 -13440 = -8400.
  • Para m=3:
(5\cdot4)a_{5} +2i\cdot4 a_{4} - a_{3}=0 \implies 20 a_{5} +8 i a_{4} - a_{3}=0,
então
a_{3} = 20(1344 i) +8 i(-8400) =26880 i -67200 i = -40320 i.
  • Para m=2:
(4\cdot3)a_{4} +2i\cdot3 a_{3} - a_{2}=0 \implies 12 a_{4} +6 i a_{3} - a_{2}=0,
portanto
a_{2} = 12(-8400) +6 i(-40320 i) = -100800 +241920 = 141120.
  • Para m=1:
(3\cdot2)a_{3} +2i\cdot2 a_{2} - a_{1}=0 \implies 6 a_{3} +4 i a_{2} - a_{1}=0,
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a_{1} = 6(-40320 i) +4 i(141120) = -241920 i +564480 i = 322560 i.
  • Para m=0:
(2\cdot1)a_{2} +2i\cdot1 a_{1} - a_{0}=0 \implies 2 a_{2} +2 i a_{1} - a_{0}=0,
então
a_{0} = 2(141120) +2 i(322560 i) =282240 +2\cdot322560\cdot i^{2} =282240 -645120 = -362880.
Assim os coeficientes a_{k} (complexos) são:
\begin{aligned} a_{8} &= -1, & a_{7} &= -16 i, & a_{6} &= 168,\\\ a_{5} &= 1344 i, & a_{4} &= -8400, & a_{3} &= -40320 i,\\\ a_{2} &= 141120, & a_{1} &= 322560 i, & a_{0} &= -362880. \end{aligned}

Passo 8

Escrevemos u(x) como u(x)=p(x)+i q(x) com p,q polinômios reais (extraindo parte real e imaginária dos a_k). Assim:
p(x) = -x^{8} +168 x^{6} -8400 x^{4} +141120 x^{2} -362880,
q(x) = -16 x^{7} +1344 x^{5} -40320 x^{3} +322560 x.
A solução complexa encontrada foi z(x)=e^{(1+i)x}u(x). A solução particular real que buscamos é a parte real de z(x):
y_{p}(x)=\Re\{e^{(1+i)x}u(x)\} = e^{x}\Re\big\{e^{ix}(p+iq)\big\}.
Calculando a parte real de e^{ix}(p+iq):
e^{ix}(p+iq) = ( \cos x + i\sin x)(p + i q) = (p\cos x - q\sin x) + i(p\sin x + q\cos x).
Portanto
y_{p}(x) = e^{x}\big( p(x)\cos x - q(x)\sin x \big).

Passo 9

Agora juntamos a solução homogênea com a particular para obter a solução geral:
y(x) = y_{c}(x) + y_{p}(x) = \big(C_{1}+C_{2}x\big)e^{x} + e^{x}\big( p(x)\cos x - q(x)\sin x\big).
Podemos fatorar e^{x}:
y(x)=e^{x}\Big(C_{1}+C_{2}x + p(x)\cos x - q(x)\sin x\Big),
onde p(x) e q(x) são os polinômios dados no Passo 8.

Resposta

y(x)=e^{x}\Big(C_{1}+C_{2}x +\big(-x^{8}+168x^{6}-8400x^{4}+141120x^{2}-362880\big)\cos x
\qquad\qquad\qquad\qquad -\big(-16x^{7}+1344x^{5}-40320x^{3}+322560x\big)\sin x\Big).

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