Determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A equação é linear, com operador diferencial à esquerda igual a
(onde representa derivação em relação a ). - O termo do segundo membro é
, ou seja, um polinômio em (grau 4) multiplicando e . - A tarefa é determinar a solução geral, isto é, a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.
Passo 2
Vou simplificar a equação usando uma substituição muito útil quando aparece o fator
. Defina
Primeiro explico por que essa substituição é esperta aqui: quando a equação tem o operador
ou potências dele e multiplicamos por
, há simplificações. Vamos calcular
e
em termos de
:
Agora substituo na equação original:
Agrupando termos dentro de
:
logo obtemos a redução simples
Portanto a equação original fica, após dividir por
(que nunca é zero),
Passo 3
Resumo do resultado até aqui: resolver a equação original é equivalente a resolver
e depois recuperar
. Isso transformou um problema com exponencial multiplicando o termo não-homogêneo num problema de integrar duas vezes
. Agora vamos calcular as primitivas necessárias passo a passo.
Vou primeiro encontrar uma primitiva de
. Aplicaremos integração por partes repetidas. A fórmula básica de integração por partes é, para funções
e
,
Escolhemos sempre como
o polinômio (que diminui de grau ao derivar) e
a função trigonométrica.
Calculemos
Passo 4
Cálculo de
por partes (passos mostrados):
- Tome
, . Então , .
- Agora calcule
. Use , . Então , .
- Calcule
. Use , . Então , .
- Calcule
. Use , . Então , .
- Retornando:
Substituindo
:
Simplificando:
Agrupando termos em
e
:
Passo 5
Agora integramos uma segunda vez: precisamos de
Vamos calcular
Integramos termo a termo. Já conhecemos técnicas análogas às usadas antes; apresento os resultados das primitivas de cada termo (obtidos por partes repetidas, análogo ao cálculo de
):
Somando todos esses resultados (os termos constantes de integração serão absorvidos em
), obtemos, após simplificar os coeficientes:
onde
é uma constante que será combinada com
.
Passo 6
Portanto uma primitiva duas vezes aplicada resulta em
onde
e
são constantes arbitárias (vindas das integrais).
Passo 7
Voltando à variável original, lembrando que
, obtemos a solução geral
Observação importante (didática): os termos
correspondem exatamente à solução geral da equação homogênea
, que tem forma
. Assim a separação entre parte particular e homogênea ficou explícita na escolha das constantes.