Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x^{4} e^{x} \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''-2y'+y=x^{4}e^{x}\operatorname{sen}x.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A equação é linear, com operador diferencial à esquerda igual a D^{2}-2D+1 (onde D representa derivação em relação a x).
  • O termo do segundo membro é x^{4}e^{x}\operatorname{sen}x, ou seja, um polinômio em x (grau 4) multiplicando e^{x} e \sin x.
  • A tarefa é determinar a solução geral, isto é, a soma da solução geral da homogênea e de uma particular.

Passo 2

Vou simplificar a equação usando uma substituição muito útil quando aparece o fator e^{x}. Defina
y(x)=e^{x}u(x).
Primeiro explico por que essa substituição é esperta aqui: quando a equação tem o operador (D-1) ou potências dele e multiplicamos por e^{x}, há simplificações. Vamos calcular y' e y'' em termos de u:
y'=e^{x}u+e^{x}u'=e^{x}(u+u'),\qquad y''=e^{x}(u+u')+e^{x}(u'+u'')=e^{x}(u+2u'+u'').
Agora substituo na equação original:
y''-2y'+y = e^{x}(u+2u'+u'') -2e^{x}(u+u') + e^{x}u.
Agrupando termos dentro de e^{x}(\cdot):
u+2u'+u'' -2u -2u' + u = u'',
logo obtemos a redução simples
y''-2y'+y = e^{x}u''.
Portanto a equação original fica, após dividir por e^{x} (que nunca é zero),
u'' = x^{4}\sin x.

Passo 3

Resumo do resultado até aqui: resolver a equação original é equivalente a resolver
u''(x)=x^{4}\sin x,
e depois recuperar y(x)=e^{x}u(x). Isso transformou um problema com exponencial multiplicando o termo não-homogêneo num problema de integrar duas vezes x^{4}\sin x. Agora vamos calcular as primitivas necessárias passo a passo.
Vou primeiro encontrar uma primitiva de x^{4}\sin x. Aplicaremos integração por partes repetidas. A fórmula básica de integração por partes é, para funções p e q,
\int p\,dq = pq - \int q\,dp.
Escolhemos sempre como p o polinômio (que diminui de grau ao derivar) e dq a função trigonométrica.
Calculemos
I_1=\int x^{4}\sin x\,dx.

Passo 4

Cálculo de I_1=\int x^{4}\sin x\,dx por partes (passos mostrados):
  • Tome p=x^{4}, dq=\sin x\,dx. Então dp=4x^{3}dx, q=-\cos x.
I_1 = -x^{4}\cos x + \int 4x^{3}\cos x\,dx.
  • Agora calcule J=\int x^{3}\cos x\,dx. Use p=x^{3}, dq=\cos x\,dx. Então dp=3x^{2}dx, q=\sin x.
J = x^{3}\sin x - \int 3x^{2}\sin x\,dx.
  • Calcule K=\int x^{2}\sin x\,dx. Use p=x^{2}, dq=\sin x\,dx. Então dp=2x dx, q=-\cos x.
K = -x^{2}\cos x + \int 2x\cos x\,dx.
  • Calcule L=\int x\cos x\,dx. Use p=x, dq=\cos x\,dx. Então dp=dx, q=\sin x.
L = x\sin x - \int \sin x\,dx = x\sin x + \cos x.
  • Retornando:
K = -x^{2}\cos x + 2L = -x^{2}\cos x + 2x\sin x + 2\cos x.
J = x^{3}\sin x - 3K = x^{3}\sin x +3x^{2}\cos x -6x\sin x -6\cos x.
I_1 = -x^{4}\cos x +4J.
Substituindo J:
I_1 = -x^{4}\cos x +4\bigl(x^{3}\sin x +3x^{2}\cos x -6x\sin x -6\cos x\bigr).
Simplificando:
I_1 = -x^{4}\cos x +4x^{3}\sin x +12x^{2}\cos x -24x\sin x -24\cos x.
Agrupando termos em \sin x e \cos x:
\boxed{I_1=\int x^{4}\sin x\,dx = \bigl(4x^{3}-24x\bigr)\sin x +\bigl(-x^{4}+12x^{2}-24\bigr)\cos x + C.}

Passo 5

Agora integramos uma segunda vez: precisamos de
u(x)=\int u'(x)\,dx = \int\bigl(I_1(x)+C_1\bigr)\,dx = \int I_1(x)\,dx + C_1 x + C_2.
Vamos calcular
I_2=\int I_1(x)\,dx = \int\bigl(-x^{4}\cos x +4x^{3}\sin x +12x^{2}\cos x -24x\sin x -24\cos x\bigr)\,dx.
Integramos termo a termo. Já conhecemos técnicas análogas às usadas antes; apresento os resultados das primitivas de cada termo (obtidos por partes repetidas, análogo ao cálculo de I_1):
  1. \displaystyle \int -x^{4}\cos x\,dx = -\bigl(x^{4}\sin x +4x^{3}\cos x -12x^{2}\sin x -24x\cos x +24\sin x\bigr).
  2. \displaystyle \int 4x^{3}\sin x\,dx = 4\bigl(-x^{3}\cos x +3x^{2}\sin x +6x\cos x -6\sin x\bigr).
  3. \displaystyle \int 12x^{2}\cos x\,dx = 12\bigl(x^{2}\sin x +2x\cos x -2\sin x\bigr).
  4. \displaystyle \int -24x\sin x\,dx = -24\bigl(-x\cos x +\sin x\bigr)=24x\cos x -24\sin x.
  5. \displaystyle \int -24\cos x\,dx = -24\sin x.
Somando todos esses resultados (os termos constantes de integração serão absorvidos em C_1 x + C_2), obtemos, após simplificar os coeficientes:
I_2 = -x^{4}\sin x -8x^{3}\cos x +36x^{2}\sin x +96x\cos x -120\sin x + C,
onde C é uma constante que será combinada com C_1 x + C_2.

Passo 6

Portanto uma primitiva duas vezes aplicada resulta em
u(x)= -x^{4}\sin x -8x^{3}\cos x +36x^{2}\sin x +96x\cos x -120\sin x + C_1 x + C_2,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitárias (vindas das integrais).

Passo 7

Voltando à variável original, lembrando que y(x)=e^{x}u(x), obtemos a solução geral
y(x)=e^{x}\Bigl(-x^{4}\sin x -8x^{3}\cos x +36x^{2}\sin x +96x\cos x -120\sin x + C_1 x + C_2\Bigr).
Observação importante (didática): os termos e^{x}(C_1 x + C_2) correspondem exatamente à solução geral da equação homogênea y''-2y'+y=0, que tem forma (A+Bx)e^{x}. Assim a separação entre parte particular e homogênea ficou explícita na escolha das constantes.

Resposta

y(x)=e^{x}\Bigl(-x^{4}\sin x -8x^{3}\cos x +36x^{2}\sin x +96x\cos x -120\sin x + C_{1}x + C_{2}\Bigr).

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