Determine a solução geral de
Passo 1
O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
Informações fornecidas e o que é pedido:
- É uma equação linear de segunda ordem, com coeficientes constantes.
- O termo não-homogêneo (lado direito) é
(produto de um polinômio por ). - Precisamos da solução geral
, isto é, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada:
Usamos o polinômio característico. Seja
a raiz do polinômio
Isso fatoriza como
, logo a raiz é
de multiplicidade 2. Para uma raiz real dupla
a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
(Explicação curta da fórmula: para raiz simples , para raiz dupla multiplicamos por
.)
(Explicação curta da fórmula: para raiz simples
Passo 3
Escolha de método para a solução particular e ideia principal:
- Queremos uma solução particular
para o lado direito . - Método prático: usar a “complexificação”. Escrevemos
e buscamos uma solução complexa de
pois a parte real de
será uma solução particular real para a equação original. Depois tomamos
.
- Vantagem: ao buscar
na forma com polinomial de grau 4, há uma identidade útil:
onde
. Mais em geral,
Mas nossa equação usa o operador
. Escrevemos
e expandimos:
Aplicando
sobre
e usando as identidades acima obtemos uma equação simples para o polinômio
:
Portanto precisamos escolher
tal que
Procuramos
como polinômio de grau 4:
com coeficientes complexos
.
Passo 4
Calcular
e
e igualar coeficientes polinomiais:
Plugando em
e coletando coeficientes por potências de
:
Coeficiente de
:
Coeficiente de
:
Com
vem
.
Coeficiente de
:
Substituindo
e
:
logo
.
Coeficiente de
:
Substituindo
e
:
logo
.
Coeficiente constante:
Substituindo
e
:
logo
.
Assim encontramos
Passo 5
Construir a solução particular complexa
e extrair a parte real:
Escrevemos
com
e
reais:
Então
A parte real de
é
Portanto uma solução particular real é
(Observe que o sinal em frente de
ficou positivo porque
já tinha sinal negativo; fizemos a simplificação.)
Passo 6
Escrever a solução geral somando homogênea e particular:
Substituindo
e
obtém-se a solução geral final.