Determine a solução geral de y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+y=x^{4} e^{x} \cos x

Passo 1

O enunciado pede: determinar a solução geral da equação diferencial
y''-2y'+y = x^{4} e^{x}\cos x.
Informações fornecidas e o que é pedido:
  • É uma equação linear de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo (lado direito) é \;x^{4} e^{x}\cos x\; (produto de um polinômio por e^{x}\cos x).
  • Precisamos da solução geral y(x), isto é, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0.
Usamos o polinômio característico. Seja r a raiz do polinômio
r^{2}-2r+1=0.
Isso fatoriza como (r-1)^{2}=0, logo a raiz é r=1 de multiplicidade 2. Para uma raiz real dupla r=1 a solução geral da homogênea é
y_{h}(x) = (C_{1}+C_{2}x)e^{x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
(Explicação curta da fórmula: para raiz simples e^{rx}, para raiz dupla multiplicamos por x.)

Passo 3

Escolha de método para a solução particular e ideia principal:
  • Queremos uma solução particular y_{p} para o lado direito \;x^{4} e^{x}\cos x.
  • Método prático: usar a “complexificação”. Escrevemos \cos x = \Re(e^{ix}) e buscamos uma solução complexa z de
z''-2z'+z = x^{4} e^{(1+i)x},
pois a parte real de z será uma solução particular real para a equação original. Depois tomamos y_{p}=\Re(z).
  • Vantagem: ao buscar z na forma z=e^{(1+i)x}P(x) com P polinomial de grau 4, há uma identidade útil:
(D-(1+i))\big(e^{(1+i)x}P(x)\big)=e^{(1+i)x}P'(x),
onde D=\dfrac{d}{dx}. Mais em geral,
(D-(1+i))^{k}\big(e^{(1+i)x}P\big)=e^{(1+i)x}P^{(k)}.
Mas nossa equação usa o operador L=(D-1)^{2}. Escrevemos (D-1) = (D-(1+i))+i e expandimos:
L=(D-1)^{2}=\big((D-(1+i))+i\big)^{2}=(D-(1+i))^{2}+2i(D-(1+i))-1.
Aplicando L sobre e^{(1+i)x}P e usando as identidades acima obtemos uma equação simples para o polinômio P:
L\big(e^{(1+i)x}P\big)=e^{(1+i)x}\big(P''+2iP'-P\big).
Portanto precisamos escolher P tal que
P''(x)+2iP'(x)-P(x)=x^{4}.
Procuramos P como polinômio de grau 4:
P(x)=c_{4}x^{4}+c_{3}x^{3}+c_{2}x^{2}+c_{1}x+c_{0},
com coeficientes complexos c_{k}.

Passo 4

Calcular P' e P'' e igualar coeficientes polinomiais:
P'(x)=4c_{4}x^{3}+3c_{3}x^{2}+2c_{2}x+c_{1},
P''(x)=12c_{4}x^{2}+6c_{3}x+2c_{2}.
Plugando em P''+2iP'-P=x^{4} e coletando coeficientes por potências de x:
Coeficiente de x^{4}:
-\,c_{4}=1 \quad\Rightarrow\quad c_{4}=-1.
Coeficiente de x^{3}:
2i\cdot 4c_{4}-c_{3}=0 \quad\Rightarrow\quad 8i c_{4}-c_{3}=0.
Com c_{4}=-1 vem c_{3}=8i(-1)= -8i.
Coeficiente de x^{2}:
12c_{4}+2i\cdot 3c_{3}-c_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad 12c_{4}+6i c_{3}-c_{2}=0.
Substituindo c_{4}=-1 e c_{3}=-8i:
12(-1)+6i(-8i)-c_{2} = -12 + 48 - c_{2} = 36 - c_{2}=0,
logo c_{2}=36.
Coeficiente de x^{1}:
6c_{3}+2i\cdot 2c_{2}-c_{1}=0 \quad\Rightarrow\quad 6c_{3}+4i c_{2}-c_{1}=0.
Substituindo c_{3}=-8i e c_{2}=36:
6(-8i)+4i\cdot 36 - c_{1} = -48i +144i - c_{1} = 96i - c_{1}=0,
logo c_{1}=96i.
Coeficiente constante:
2c_{2}+2i c_{1}-c_{0}=0.
Substituindo c_{2}=36 e c_{1}=96i:
2\cdot 36 + 2i\cdot 96i - c_{0} = 72 + 192 i^{2} - c_{0} = 72 -192 - c_{0} = -120 - c_{0}=0,
logo c_{0}=-120.
Assim encontramos
P(x) = -x^{4} -8i x^{3} +36 x^{2} +96 i x -120.

Passo 5

Construir a solução particular complexa z e extrair a parte real:
z(x)=e^{(1+i)x}P(x).
Escrevemos P(x)=U(x)+iV(x) com U e V reais:
U(x)=-x^{4}+36x^{2}-120,\qquad V(x)=-8x^{3}+96x.
Então
z(x)=e^{x}\,e^{ix}\big(U+iV\big).
A parte real de z é
\Re(z)=e^{x}\big(U\cos x - V\sin x\big).
Portanto uma solução particular real é
y_{p}(x)=e^{x}\Big(\big(-x^{4}+36x^{2}-120\big)\cos x + \big(8x^{3}-96x\big)\sin x\Big).
(Observe que o sinal em frente de V\sin x ficou positivo porque V já tinha sinal negativo; fizemos a simplificação.)

Passo 6

Escrever a solução geral somando homogênea e particular:
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x).
Substituindo y_{h} e y_{p} obtém-se a solução geral final.

Resposta

y(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{x}+e^{x}\Big(\big(-x^{4}+36x^{2}-120\big)\cos x + \big(8x^{3}-96x\big)\sin x\Big)

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