Seja
a curva interseção da semiesfera
com o plano
. Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha de função escalar
ao longo da curva
, que é a interseção da superfície da semiesfera
,
, com o plano
. Para resolver, vamos usar geometria de esferas e planos, parametrização de curva e a fórmula
.
Passo 2
Reescrevo a equação da semiesfera completando quadrados:
fica
ou seja, é uma esfera de centro
e raio
. O plano é
.
Passo 3
A interseção esfera–plano é um círculo de raio
onde
é a distância do centro ao plano. Calculamos
logo
Passo 4
O centro do círculo é a projeção de
sobre o plano. Usando o vetor normal
, achamos o ponto
Passo 5
Para parametrizar
dentro do plano, escolhemos uma base ortonormal:
(note que
). Assim
com
variando de
a
para garantir
. Desdobrando,
Passo 6
Calculamos o comprimento de arco:
logo
.
Passo 7
Substituímos na integral
Como
e
temos o integrando
Passo 8
Fazendo
,
, quando
temos
, e
dá
. Assim