Seja C a curva interseção da semiesfera x^2+y^2+z^2=8-2(x+y), z >= 0 com o plano x+y=2. Calcule integralC(x^2+y^2) z d s.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha de função escalar (x^2+y^2)z ao longo da curva C, que é a interseção da superfície da semiesfera x^2+y^2+z^2=8-2(x+y), z>=0, com o plano x+y=2. Para resolver, vamos usar geometria de esferas e planos, parametrização de curva e a fórmula integralC f,ds.

Passo 2

Reescrevo a equação da semiesfera completando quadrados:
x^2+y^2+z^2=8-2(x+y)
fica
(x+1)^2+(y+1)^2+z^2=10,
ou seja, é uma esfera de centro (-1,-1,0) e raio R=raiz10. O plano é x+y=2.

Passo 3

A interseção esfera–plano é um círculo de raio
r=raizR^2-d^2,
onde d é a distância do centro ao plano. Calculamos
d=|(-1)+(-1)-2|raiz1^2+1^2=4raiz2=2raiz2,
logo
r=raiz10-(2raiz2)^2=raiz2

Passo 4

O centro do círculo é a projeção de (-1,-1,0) sobre o plano. Usando o vetor normal n=(1,1,0)/raiz2, achamos o ponto
C0=(-1,-1,0)+2raiz2,n=(1,1,0)

Passo 5

Para parametrizar C dentro do plano, escolhemos uma base ortonormal:
e1=(1,-1,0)/raiz2,
e2=(0,0,-1)
(note que e2=ntimes e1). Assim
r(theta)=C0+raiz2l(costheta,e1+sintheta,e2r),
com theta variando de pi a 2pi para garantir z>=0. Desdobrando,
x(theta)=1+costheta,
y(theta)=1-costheta,
z(theta)=-raiz2,sintheta

Passo 6

Calculamos o comprimento de arco:
r'(theta)=(-sintheta,sintheta,-raiz2costheta),
|r'(theta)|=raiz2sin^2theta+2cos^2theta=raiz2,
logo ds=raiz2,dtheta.

Passo 7

Substituímos na integral
I=integralC(x^2+y^2)z,ds =integralpi^2pi (x(theta)^2+y(theta)^2),z(theta),|r'(theta)|,dtheta
Como
x^2+y^2=(1+costheta)^2+(1-costheta)^2=2(1+cos^2theta)
e
z(theta)=-raiz2sintheta,
temos o integrando
(x^2+y^2)z,|r'|=-2raiz2(1+cos^2theta)sinthetatimesraiz2 =-4(1+cos^2theta)sintheta

Passo 8

Fazendo u=costheta, du=-sintheta,dtheta, quando theta=pi temos u=-1, e theta=2pi u=1. Assim
I=-4integralpi^2pi(1+cos^2theta)sintheta,dtheta =4integral-1^1(1+u^2),du =4l[u+tfracu^33r]-1^1 =323

Resposta

32/3

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