Determine os pontos de inflexão da função:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir os pontos de inflexão da função $ f(x) = \ln(x^{2} + 1) $. Para isso, vamos precisar usar Derivadas no cálculo, principalmente as primeiras e segundas derivadas. Os pontos de inflexão são onde a concavidade do gráfico muda, e isso acontece quando a segunda derivada muda de sinal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função. A derivada de $ \ln(u) $ em relação a $ x $ é $ \frac{u’}{u} $. Então, para $ f(x) = \ln(x^{2} + 1) $:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada. Para isso, vamos derivar $ f’(x) = \frac{2x}{x^{2} + 1} $. Podemos usar a regra do quociente, que é:
Aplicando isso:
Simplificando:
Passo 4
Os pontos de inflexão ocorrem onde a segunda derivada é zero ou não existe, e onde há uma mudança no sinal da concavidade. Vamos resolver $ f’’(x) = 0 $:
Então, temos candidatos a pontos de inflexão em $ x = -1 $ e $ x = 1 $.
Passo 5
Vamos verificar se realmente há mudança de concavidade nesses pontos.
-
Para $ x = -1 $:
- Escolha um valor menor que -1, por exemplo, $ x = -2 $:
- Escolha um valor entre -1 e 0, por exemplo, $ x = 0 $:
- Houve mudança de concavidade de negativa para positiva passando por $ x = -1 $.
- Escolha um valor menor que -1, por exemplo, $ x = -2 $:
-
Para $ x = 1 $:
- Escolha um valor entre 0 e 1, por exemplo, $ x = 0 $:
- Escolha um valor maior que 1, por exemplo, $ x = 2 $:
- Houve mudança de concavidade de positiva para negativa passando por $ x = 1 $.
- Escolha um valor entre 0 e 1, por exemplo, $ x = 0 $:
Portanto, ambos os pontos $ x = -1 $ e $ x = 1 $ são pontos de inflexão.
Resposta
Os pontos de inflexão da função $ f(x) = \ln(x^{2} + 1) $ são $ x = -1 $ e $ x = 1 $.