Determine os pontos de inflexão da função:
f(x)=ln (x^2+1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir os pontos de inflexão da função $ f(x) = \ln(x^{2} + 1) $. Para isso, vamos precisar usar Derivadas no cálculo, principalmente as primeiras e segundas derivadas. Os pontos de inflexão são onde a concavidade do gráfico muda, e isso acontece quando a segunda derivada muda de sinal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da função. A derivada de $ \ln(u) $ em relação a $ x $ é $ \frac{u’}{u} $. Então, para $ f(x) = \ln(x^{2} + 1) $:
ln(u)

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada. Para isso, vamos derivar $ f’(x) = \frac{2x}{x^{2} + 1} $. Podemos usar a regra do quociente, que é:
f'(x) = 2xx^2 + 1
Aplicando isso:
( uv )' = u'v - uv'v^2
Simplificando:
f''(x) = 2(x^2 + 1) - 2x cdot 2x(x^2 + 1)^2 = 2x^2 + 2 - 4x^2(x^2 + 1)^2 = -2x^2 + 2(x^2 + 1)^2

Passo 4

Os pontos de inflexão ocorrem onde a segunda derivada é zero ou não existe, e onde há uma mudança no sinal da concavidade. Vamos resolver $ f’’(x) = 0 $:
f''(x) = 0
Então, temos candidatos a pontos de inflexão em $ x = -1 $ e $ x = 1 $.

Passo 5

Vamos verificar se realmente há mudança de concavidade nesses pontos.
  • Para $ x = -1 $:
    • Escolha um valor menor que -1, por exemplo, $ x = -2 $: x = -1
    • Escolha um valor entre -1 e 0, por exemplo, $ x = 0 $: x = -2
    • Houve mudança de concavidade de negativa para positiva passando por $ x = -1 $.
  • Para $ x = 1 $:
    • Escolha um valor entre 0 e 1, por exemplo, $ x = 0 $: f''(-2) = 2(1 - 4)(4 + 1)^2 = -625 < 0
    • Escolha um valor maior que 1, por exemplo, $ x = 2 $: x = 0
    • Houve mudança de concavidade de positiva para negativa passando por $ x = 1 $.
Portanto, ambos os pontos $ x = -1 $ e $ x = 1 $ são pontos de inflexão.

Resposta

Os pontos de inflexão da função $ f(x) = \ln(x^{2} + 1) $ são $ x = -1 $ e $ x = 1 $.

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