II) Determine uma solução particular das E.D.O. de 2^{\mathrm{a}} ordem utilizando o Método da Variação dos Parâmetros, conhecendo-se y_{1}(t) e y_{2}(t).
t y^{\prime \prime}-(1+t) y^{\prime}+y=t^{2} e^{2 t}, y_{1}(t)=1+t, y_{2}(t)=e^{t}
Sol. y_{p}(t)=\frac{1}{2}(t-1) e^{2 t}
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e pede uma solução particular usando variação dos parâmetros. Os dados são:
O que se pede: encontrar uma solução particular \,y_{p}(t)\, da equação dada (usar a variação dos parâmetros foi indicado pelo enunciado).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão \,y''+p(t)y'+q(t)y=g(t)\, é o primeiro passo prático. Dividindo a equação original por \,t (assumindo \,t\neq0,) obtemos:
Note que os fatores t e e^{t} simplificaram no quociente do Wronskiano.
Passo 6
Integrar u_{1}' e u_{2}' para obter u_{1} e u_{2}. Para a solução particular, podemos escolher constantes de integração iguais a zero (qualquer constante adicionada corresponde a combinação linear das soluções homogêneas).
Integrando u_{1}'(t)=-e^{2t}:
u_{1}(t)=\int -e^{2t}\,dt=-\frac{1}{2}e^{2t}.
Integrando u_{2}'(t)=(1+t)e^{t}: decompor a integral
\int(1+t)e^{t}\,dt=\int e^{t}\,dt+\int t e^{t}\,dt.
A primeira é \,e^{t}. Para a segunda, usar integração por partes: tomar u=t,\\ dv=e^{t}dt dá \int t e^{t}dt= t e^{t}-\int e^{t}dt= t e^{t}-e^{t}. Somando,