II) Determine uma solução particular das E.D.O. de 2^{\mathrm{a}} ordem utilizando o Método da Variação dos Parâmetros, conhecendo-se y_{1}(t) e y_{2}(t).
  1. t y^{\prime \prime}-(1+t) y^{\prime}+y=t^{2} e^{2 t}, y_{1}(t)=1+t, y_{2}(t)=e^{t}
Sol. y_{p}(t)=\frac{1}{2}(t-1) e^{2 t}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e pede uma solução particular usando variação dos parâmetros. Os dados são:
  • Equação: t\,y''-(1+t)\,y'+y=t^{2}e^{2t}.
  • Soluções fundamentais conhecidas: y_{1}(t)=1+t,\qquad y_{2}(t)=e^{t}.
O que se pede: encontrar uma solução particular \,y_{p}(t)\, da equação dada (usar a variação dos parâmetros foi indicado pelo enunciado).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão \,y''+p(t)y'+q(t)y=g(t)\, é o primeiro passo prático. Dividindo a equação original por \,t (assumindo \,t\neq0,) obtemos:
y''-\frac{1+t}{t}\,y'+\frac{1}{t}\,y=t\,e^{2t}.
Portanto identificamos
p(t)=-\frac{1+t}{t},\qquad q(t)=\frac{1}{t},\qquad g(t)=t\,e^{2t}.

Passo 3

Explicar a ideia da variação dos parâmetros (passo didático): busca-se uma solução particular da forma
y_{p}=u_{1}(t)\,y_{1}(t)+u_{2}(t)\,y_{2}(t),
onde u_{1} e u_{2} são funções a determinar. Para fixar u_{1} e u_{2} impõe-se a condição auxiliar
u_{1}'(t)\,y_{1}(t)+u_{2}'(t)\,y_{2}(t)=0,
e exige-se também que
u_{1}'(t)\,y_{1}'(t)+u_{2}'(t)\,y_{2}'(t)=g(t).
Essas duas equações formam um sistema linear para u_{1}' e u_{2}'. Resolvendo-o em termos do Wronskiano W(t) resulta nas fórmulas padrão:
u_{1}'(t)=-\frac{g(t)\,y_{2}(t)}{W(t)},\qquad u_{2}'(t)=\frac{g(t)\,y_{1}(t)}{W(t)},
onde o Wronskiano é definido por
W(t)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}'\end{vmatrix}=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
(Obs.: essas fórmulas vêm de resolver o sistema 2×2 linear; é a maneira prática e padrão de aplicar variação dos parâmetros.)

Passo 4

Calcular as derivadas e o Wronskiano usando as funções dadas:
  • y_{1}(t)=1+t\quad\Rightarrow\quad y_{1}'(t)=1.
  • y_{2}(t)=e^{t}\quad\Rightarrow\quad y_{2}'(t)=e^{t}.
Logo o Wronskiano é
W(t)= (1+t)\,e^{t}-1\cdot e^{t}=t\,e^{t}.

Passo 5

Aplicar as fórmulas para u_{1}' e u_{2}'. Lembrando que g(t)=t\,e^{2t}, obtemos:
u_{1}'(t)=-\frac{g(t)\,y_{2}(t)}{W(t)}=-\frac{t\,e^{2t}\cdot e^{t}}{t\,e^{t}}=-e^{2t}.
u_{2}'(t)=\frac{g(t)\,y_{1}(t)}{W(t)}=\frac{t\,e^{2t}\cdot(1+t)}{t\,e^{t}}=(1+t)\,e^{t}.
Note que os fatores t e e^{t} simplificaram no quociente do Wronskiano.

Passo 6

Integrar u_{1}' e u_{2}' para obter u_{1} e u_{2}. Para a solução particular, podemos escolher constantes de integração iguais a zero (qualquer constante adicionada corresponde a combinação linear das soluções homogêneas).
  • Integrando u_{1}'(t)=-e^{2t}:
u_{1}(t)=\int -e^{2t}\,dt=-\frac{1}{2}e^{2t}.
  • Integrando u_{2}'(t)=(1+t)e^{t}: decompor a integral
\int(1+t)e^{t}\,dt=\int e^{t}\,dt+\int t e^{t}\,dt.
A primeira é \,e^{t}. Para a segunda, usar integração por partes: tomar u=t,\\ dv=e^{t}dt \int t e^{t}dt= t e^{t}-\int e^{t}dt= t e^{t}-e^{t}. Somando,
\int(1+t)e^{t}dt=e^{t}+\bigl(t e^{t}-e^{t}\bigr)=t e^{t}.
Portanto
u_{2}(t)=t e^{t}.

Passo 7

Construir a solução particular \,y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}\, e simplificar:
y_{p}(t)=\Bigl(-\frac{1}{2}e^{2t}\Bigr)(1+t)+(t e^{t})(e^{t}).
Calcular termo a termo:
\Bigl(-\frac{1}{2}e^{2t}\Bigr)(1+t)=-\frac{1}{2}(1+t)e^{2t},
(t e^{t})(e^{t})=t e^{2t}.
Somando:
y_{p}(t)=-\frac{1}{2}(1+t)e^{2t}+t e^{2t}=e^{2t}\Bigl(-\frac{1}{2}-\frac{t}{2}+t\Bigr)=e^{2t}\Bigl(-\frac{1}{2}+\frac{t}{2}\Bigr).
Fatorando \tfrac{1}{2} obtemos a forma final
y_{p}(t)=\frac{1}{2}(t-1)e^{2t}.

Resposta

\displaystyle y_{p}(t)=\frac{1}{2}(t-1)e^{2t}

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