II) Determine uma solução particular das E.D.O. de 2^{\mathrm{a}} ordem utilizando o Método da Variação dos Parâmetros, conhecendo-se y_{1}(t) e y_{2}(t).
O enunciado pede: determinar uma solução particular da E.D.O.
t^{2}y''-2y=3t^{2}-1,
sabendo-se duas soluções independentes da homogênea: y_{1}(t)=t^{2} e y_{2}(t)=t^{-1}.
Informações relevantes fornecidas:
A equação original é \;t^{2}y''-2y=3t^{2}-1\;.
Soluções fundamentais da equação homogênea associada são \;y_{1}(t)=t^{2}\; e \;y_{2}(t)=t^{-1}\;.
Deve-se usar o método da variação dos parâmetros para obter uma solução particular y_{p}(t).
Observação sobre domínio: a equação foi dada com fator t^{2} multiplicando y'', logo t\neq0. Ao usar \ln aparecerá \ln|t|; se for preciso podemos supor t>0 para escrever \ln t.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão y''+P(t)y'+Q(t)y=G(t), dividindo por t^{2} (válido para t\neq0):
Com y_{1}(t)=t^{2} e y_{2}(t)=t^{-1} temos y_{1}'(t)=2t e y_{2}'(t)=-t^{-2}. Então
W(t)=t^{2}\cdot(-t^{-2})-t^{-1}\cdot(2t)=-1-2=-3.
Observação: o Wronskiano é constante e diferente de zero (W=-3), portanto y_{1} e y_{2} são independentes e podemos aplicar variação dos parâmetros.]
Passo 4
Explicar o método da variação dos parâmetros (de forma prática e sem pular passos).
Procuramos uma solução particular na forma
y_{p}(t)=u_{1}(t)\,y_{1}(t)+u_{2}(t)\,y_{2}(t),
onde u_{1}(t)\) e \(u_{2}(t)\) são funções a determinar (em vez de constantes).
- Impomos a condição auxiliar habitual para simplificar cálculos:
\[u_{1}'(t)\,y_{1}(t)+u_{2}'(t)\,y_{2}(t)=0.
Substituindo y_{p} na equação padrão e usando a condição auxiliar chega-se ao sistema linear para u_{1}' e u_{2}':
Esse sistema 2×2 tem solução dada por Cramer; usando o Wronskiano W\] obtemos as fórmulas padrão
\[u_{1}'(t)=-\frac{G(t)\,y_{2}(t)}{W(t)},\qquad u_{2}'(t)=\frac{G(t)\,y_{1}(t)}{W(t)}.\]
Essas fórmulas são diretas de aplicar: basta conhecer \(G,y_{1},y_{2},W.]
Passo 5
Aplicar as fórmulas para u_{1}' e u_{2}'. Lembrando G(t)=3-\dfrac{1}{t^{2}}, y_{1}=t^{2}, y_{2}=t^{-1} e W=-3:
Interpretar o resultado e obter a forma pedida. Observação importante: uma solução particular não é única — se y_{p} é particular e y_{h} é solução da homogênea, então y_{p}+y_{h} também é particular. Aqui y_{1}(t)=t^{2} é solução homogênea; adicionando \tfrac{1}{3}t^{2} (que é múltiplo de y_{1}) ao y_{p} acima elimina o termo -\tfrac{t^{2}}{3}:
é também uma solução particular da E.D.O. (e coincide com a solução indicada no enunciado). Se assumirmos t>0 podemos escrever \ln t no lugar de \ln|t|.