(a) Determine uma solução a partir da família do item (a) do Problema 31 que satisfaça
. onde
0 . Explique por que o maior intervalo
de definição para esta solução é
ou
.
(b) Determine o maior intervalo
de definição para a solução do problema de valor inicial de primeira ordem
.
(b) Determine o maior intervalo
Passo 1
O enunciado pede a resolução do problema de valor inicial
onde
. Para isso vamos usar o método de separação de variáveis e depois discutir o maior intervalo de existência da solução. Em (b) repetimos o raciocínio para
.
Passo 2
Separe as variáveis escrevendo
Passo 3
Integre os dois lados:
onde
é constante de integração.
Passo 4
Isole
:
É comum reescrever
, obtendo
Passo 5
Use a condição inicial
:
Logo a solução fica
Passo 6
O denominador se anula em
, isto é, em
. A solução explode nesse ponto, logo não pode ser estendida além dele. O maior intervalo (conectado) que contém
e evita o pólo é
Passo 7
Para o caso
, observe que
satisfaz
e a condição inicial. Como não há pólo nem explosão, essa solução é válida para todo
.
Resposta
(a)
. O maior intervalo de definição que contém
é
se
e
se
.
(b)
com intervalo de definição
.