(a) Determine uma solução a partir da família do item (a) do Problema 31 que satisfaça y^{\prime}=y^{2}, y(0)=y_{0}. onde y_{0} \neq 0 . Explique por que o maior intervalo I de definição para esta solução é -\infty<x<1 / y_{0} ou 1 / y_{0}<x<\infty.
(b) Determine o maior intervalo I de definição para a solução do problema de valor inicial de primeira ordem y^{\prime}=y^{2}, y(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede a resolução do problema de valor inicial
y'=y^{2},\quad y(0)=y_{0},
onde y_{0}\neq0. Para isso vamos usar o método de separação de variáveis e depois discutir o maior intervalo de existência da solução. Em (b) repetimos o raciocínio para y_{0}=0.

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
\frac{dy}{dx}=y^{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y^{2}}=dx.

Passo 3

Integre os dois lados:
\int \frac{dy}{y^{2}}=\int dx \quad\Longrightarrow\quad -\,\frac{1}{y}=x+C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Isole y:
-\,\frac{1}{y}=x+C \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y}=-(x+C) \quad\Longrightarrow\quad y=-\frac{1}{x+C}.
É comum reescrever C'=-C, obtendo
y(x)=\frac{1}{C'-x}.

Passo 5

Use a condição inicial y(0)=y_{0}:
y(0)=\frac{1}{C'}=y_{0} \quad\Longrightarrow\quad C'=\frac{1}{y_{0}}.
Logo a solução fica
y(x)=\frac{1}{\frac{1}{y_{0}}-x} =\frac{y_{0}}{1 - x\,y_{0}}.

Passo 6

O denominador se anula em 1/y_{0}-x=0, isto é, em x=1/y_{0}. A solução explode nesse ponto, logo não pode ser estendida além dele. O maior intervalo (conectado) que contém 0 e evita o pólo é
\begin{cases} (-\infty,\;1/y_{0}),&\text{se }y_{0}>0,\\\ (1/y_{0},\;\infty),&\text{se }y_{0}<0. \end{cases}

Passo 7

Para o caso y(0)=0, observe que y\equiv0 satisfaz y'=y^{2}=0 e a condição inicial. Como não há pólo nem explosão, essa solução é válida para todo x\in\mathbb{R}.

Resposta

(a) \displaystyle y(x)=\frac{1}{\frac{1}{y_{0}}-x}=\frac{y_{0}}{1 - x\,y_{0}}. O maior intervalo de definição que contém 0 é (-\infty,1/y_{0}) se y_{0}>0 e (1/y_{0},\infty) se y_{0}<0.
(b) \displaystyle y(x)=0 com intervalo de definição (-\infty,\infty).

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